Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(26.19)
Поскольку
Saha (-?) = hB (?), -EcJa (-f) = Л (?)
и, следовательно, -saya (-?) = ya (?), равенство (19) можно записать в
виде
П [у (?) - h (?)/2, h (?)] = П [у- (?) - h- (?)/2, йв (?)].
Таким образом, функционал П [у - hl2, h] инвариантен относительно
обращения времени.
4. Следствие из производящего равенства: Н-теорема. Полагая в (16) v
(?) = 0, получаем
0 [-РА(?),А(?)1 = 1, (26.20)
292
Вследствие (6) это равенство можно записать так:
ехр (- р [ Ja(t)ha(t)dt] - 1 \ =0. (26.21)
la J / h (Т)
Отсюда получаем
( ехр I -р f Jhdt) : р \ Jh dt - Л = (3 / f Jhdt) . (26.22)
\ \ а J a I h (X) \ а / h (Т)
Поскольку ехр (х) - 1 - х ^ 0 при любом х, из (22) имеем
J J (t) h (t) dt^j^z 0. (26.23)
Вследствие (5) это равенство можно записать так:
(Э80 (")> - (ЗЮ0 (а)) 0- т. е. AU = U (b) - U {а) ^ 0, (26.24)
где U = {Мп) - внутренняя энергия системы.
Мы доказали таким образом, что при равновесном начальном распределении в
результате действия внешних сил внутренняя энергия увеличивается (не
уменьшается). Энергия от внешних тел, создающих внешние силы, переходит в
рассматриваемую систему, так что внешняя работа ДА неположительна. При
этом предполагается, что диссипируемая энергия, выделяющаяся в виде
теплоты, остается в системе и что все взаимодействие с внешними телами
сводится к действию внешних сил h(t). Если допустить теплообмен с
окружающей средой, то, поскольку согласно первому закону термодинамики AQ
= AU + ДА, доказанная теорема, вместо (24), будет выражаться неравенством
ДА с 0. Доказанная здесь теорема стоит в ряду рассмотренных ранее Н-
теорем (см. пп. 14.3, 15.8).
5. Вывод простейших ФДС из производящего равенства. Проиллюстрируем
применение производящего равенства (16) для вывода ФДС на примере
простейших соотношений.
Согласно (6) и (1.6) справедлива формула
In 0 [v (t), h (/)] =
сю
= 2 J ' ' ' J 1 - ^ am (D • - vam(tm) dt\ . . .dtm.
m= 1
(26.25)
В правой части под знаком интеграла стоят неравновесные корреляторы,
соответствующие переменным внешним силам h (/).
а) Сначала используем вытекающее из (16) равенство (20). Ло-
гарифмируя его и подставляя в него (25), получаем
-Р J а, т (х) ha (t\) dti -)-
+ V2P2 J (Ja, (tl), Ja, (h))h ") KXl {U) hrX2 (t2) dt! dt2 -
VeP3 (Jli J2> J:i)h (X) hihjl:t -7- - - - - 0. (26.26)
293
Взяв вариационную производную от (26) по h$ (f) иполагая h (т) ==_ = 0,
будем иметь
{J р (0)о = О-
Это соотношение согласуется с разложением (16.8).
Далее, дифференцируя (26) по h1 и h2 и приравнивая затем силы h (t) нулю,
найдем
-6 (Ji)a/6/i2 - 6 (Jijh/bh-y -j- р (Ji, У2) = О
при h (t) = 0. Вследствие (16.8) это равенство эквивалентно такому ФДС
, Yv =kT (ГЬ2 + Yttl) (26.27)
(У12 = (Jl7 J2)о)- Это есть не что иное, как неквантовый вариант
соотношения (17.62).
Трехкратное дифференцирование равенства (26) по h2, h3 в точке /г = 0
дает
Y1, 23 - Г2)13 - Y3, 12 |ЗУ 12, 3 "1" (^13, 2 "1" РУ23, 1 - Р2У 123 = Д
(26.28)
где учтено (16.8) и обозначения из п. 17.7. Соотношение (28) может быть
получено из ФДС (17.49), (17.68).
Отметим, что формулы (20), (23), (27), (28) справедливы и в том случае,
когда условие временной обратимости не выполняется, т. е. когда Ж0(гг)
отличается от В самом деле, при отсутствии
временной обратимости в правой и левой частях равенства (13) будут стоять
разные функционалы F\ функционалы 0 в (9) и в (15) будут также разные, но
равенство (16) будет справедливо. В обеих его частях будут, правда,
стоять разные функционалы, однако, положив в нем v = 0, все равно получим
(20), так как правая часть обратится в единицу согласно (14). Таким
образом, указанные равенства являются следствием только формулы Гиббса
(8), т. е. только динамического равновесия.
б) Обратимся теперь к равенству (16). Прологарифмируем его и подставим
в него (25). Удерживая лишь члены, линейные по V, будем иметь
j (Ja(t))h (t> v (t) dt - VaP j (t2))h (T) К (*i) К Да) +
+ К (U) V7 (f2)] dt1 dt2 + О (у2) = - j (Ja (t))eh (-t) eava (~t) dt.
Взяв вариационную производную no vx и по /i2 от обеих частей полученного
равенства, а затем полагая h = 0, находим
S (J 1 )ft (т)/бЛ2 - Р (У 1 > J 2)0 = -Ба,6 (У а, (-t\f)zh (_т)/б/1г при
/г = 0.
Вследствие (16.8) это равенство можно записать в виде
У"э(* 1, к)^кТ{Уа^{1ъ t2) + za4Ya,^{~tu -/,)!.
294
Сравнивая данную формулу с (27), получаем соотношение Ур, a{h< ^l) =
р (-il> -4).
т. е. соотношение взаимности (17.64).
Из производящего равенства (16) можно получить и другие ФДС в неквантовом
варианте, в том числе и те соотношения, которые не были получены ранее, а
именно, соотношения при числе индексов, большем четырех.
6. Квантовый случай. Вспомогательные формулы. Динамические переменные
г = (qi, pi) или функции от них D = D (z) в гейзенберговском
представлении при гамильтониане Ж (t), зависящем от времени,
удовлетворяют уравнению типа
dD/dt = (i/й) {Ж (i) Ъ-Ъж (/)). (26.29)
Если D является функцией не только динамических переменных, но и явно
