Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Фаза дипольного матричного элемента гХ2 определяется относительной фазой волновых функций состояний 1 и 2
r12= Jcptl(T) rcp2(r)d3 г. (1.104) •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
43
РИС. 1.9. «Двухуровневый атом», у которого состояния связаны ненулевым дипольным матричным элементом.
Функции (P1 и <р2 обычно выбирают действительными, т, е. Гх2 — тоже действительное число. Тогда (1.103) можно переписать в виде
</»> = erIiiPn + Pi2)- (1-105)
Имея это в виду, и можно говорить, что Pn — дипольный момент системы.
Во многих задачах мы будем для простоты выбирать матричные элементы гп,п действительными. В тех случаях, когда это ограничение не используется, результаты можно легко обобщить.
При рассмотрении систем, содержащих более чем два уровня, возникает вопрос о мультипольных операторах более высокого ранга. Они являются тензорами, которые можно разложить по сферическим функциям Tp . Для данного / имеется (2/ + 1) компоненты, случай I=I соответствует вектору, например диполь-ному моменту n = er. Квадрупольный оператор Q(l = 2) может быть представлен эрмитовской матрицей 3 X 3 с нулевым следом. Очевидно, что такие матрицы имеют 5 независимых параметров.
В трехуровневой системе, где уровень 2 дипольно связан с уровнями 1 и 3, матричный элемент рп позволяет определить все средние значения компонент квадрупольного оператора. Поэтому иногда говорят, что рп — квадрупольный матричный элемент. Это не совсем точное выражение, во-первых, потому, что элементы матрицы плотности определяют лишь средние значения квадруполя, а не его матричные элементы, а во-вторых, все 5 независимых компонент нельзя выразить одним числом. 44
ГЛАВА 1
Высшие мультиполи определяются через элементы матрицы плотности большей размерности. На возможность описания мультипольного взаимодействия здесь мы лишь указали, так как для задач спектроскопии, рассматриваемых нами, в подавляющем большинстве случаев основным является дипольное взаимодействие.
Формальное решение уравнений (1.100) можно записать в виде
p(t) = e-""/*p(0)e'm/*, (1.106)
если в правой части (1.100) пренебречь членом, пропорциональным Г. Зависимость от времени среднего значения оператора А определится как
<і4(*)> = SvMt) = Sp Ae-""/hp{0) e""/ft. (1.107)
Так как след произведения матриц инвариантен относительно операции циклической перестановки, то
(A{t)> = S p[e'H,'*Ae-'H,/*p(0j\
= Sp(AH(t)p(0)), (1.108)
где AH(t) — оператор А в гейзенберговском представлении. Таким образом зависящие от времени наблюдаемые могут быть вычислены и в шредингеровском, и в гейзенберговском представлениях. Заметим, что в последнем случае матрица плотности не зависит от времени.
Результаты вычислений с матрицей плотности включают как усреднение, связанное с вероятностным характером квантового описания, так и статистическое усреднение по возможным значениям ненаблюдаемых параметров. Если удается решить уравнение для матрицы плотности, то ее диагональные элементы определяют эволюцию вероятности заселенности соответствующих состояний. Через недиагональные элементы выражаются средние значения мультипольных матричных элементов, которые часто связаны с основными наблюдаемыми величинами.
Одно из главных достоинств использования формализма матрицы плотности — простота физической интерпретации результатов. В следующем разделе мы покажем на частных примерах, как можно реализовать и другое полезное свойство матрицы •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
45
плотности — возможность феноменологически включать в уравнения для рпп, релаксационные члены, описывающие самые разные физические явления.
1.6. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЧЛЕНЫ В УРАВНЕНИИ ДЛЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
Мы уже выяснили физический смысл элементов матрицы плотности. Покажем теперь, как с учетом этого можно обобщить уравнения для рпп. в разных случаях.
Распад на ненаблюдаемые уровни. Этот случай уже рассматривался нами, и уравнение (1.98) содержит релаксационные члены в виде
JtPnn = -\(У» + УП')РПП + •••• (1109)
При этом эволюция заселенности описывается экспоненциальным законом )0„„(0ocexp(-7n/) , что непосредственно связано со спонтанным испусканием фотонов. Их число можно оценить из (1.109); оно пропорционально у„р„„(0- Следовательно, измерив интенсивность спонтанного излучения, мы можем определить и заселенность распадающихся уровней.
Спонтанный распад на уровни подсистемы. Уравнений (1.109) недостаточно для описания выделенной системы уровней, если между ними происходят спонтанные переходы. Рассмотрим простейший случай (рис. 1.10). Заселенность верхнего уровня переходит на нижний и при этом для р22 имеем
JlPn=-TP2I- (MIO)
Пока мы учли только член ухода, но условие сохранения полной вероятности требует, чтобы заселенность нижнего уровня возрастала. Поэтому член прихода может быть записан в виде
^Pn = Tp22. (1.111)
Релаксация недиагональных элементов требует более детального квантовомсханичсского анализа. Можно показать, что при спон- 46 ГЛАВА 1
РИС. 1.10. «Двухуровневый атом», верхнее состояние которого спонтанно распадается на нижнее со скоростью Г.
