Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Гармонические функции н нх основные свойства. Решение задачи Дирихле для
сферы по методу Шварца.
Теорема Вито Вольтерра.
Потенциал простого слоя н его основные свойства.
Производные двух первых порядков и нормальные производные от потенциала
простого слоя. Теорема Пуассона н относящиеся сюда неравенства АЛ1.
Ляпунова. Потенциал двойного слоя и его основные свойства. Теоремы А.М.
Ляпунова о нормальных производных потенциала двойного слоя
1. В первой части сочинения изложены подробно, общие приемы решения
основных задач математической физики для простого случая тел линейных
размеров. Мы перейдем теперь к изучению более сложного вопроса о методах
решения подобных же задач, примеры которых были указаны в гл. II части I
, для тел трех измерений. Мы уже видели, что простейшими типами этих
задач являются так называемые задачи Дирихле и К. Неймана (или основная
задача гидродинамики). Сюда же следует отнести и задачу о распределении
электричества на замкнутых кондукторах или задачу Робена, которую, как
увидим ниже, можно рассматривать как частный случай задачи Дирихле. К
решению этих последних задач сводится решение всех других главнейших
задач теории тепла, света, звука, электричества и т.п. Поэтому мы
займемся прежде всего изложением методов решения задач Дирихле, К.
Неймана и Робена. При этом необходимо придется пользоваться не только
основными теоремами теории притяжения (потенциала) , излагаемыми в общих
трактатах по механике, но многими свойствами различного типа потенциалов,
которые с надлежащей строгостью и общностью установлены сравнительно
недавно, преимущественно трудами акад. А.М. Ляпунова, и до настоящего
времени еще не введены в общие курсы механики и анализа. Поэтому, прежде
чем приступить к главному предмету наших исследований, мы, напомнив уже
известные предложения из теории притяжения, изложим обстоятельно
доказательства только что упомянутых новых теорем и неравенств,
относящихся к теории так называемых потенциалов простого и двойного
слоев.
2. Обозначим через (D) область пространства, ограниченную некоторой
замкнутой поверхностью (S) и заполненную массами, взаимодействующими по
закону Ньютона. Обозначим через ц плотность этих масс, которая будет,
вообще говоря, функцией координат ?, j?, f точек объема (D),
ограниченного поверхностью (S). Мы предположим, что ц есть непрерывная
функция координат *) . Обозначим через dr элемент этого объема, через
*) В замыкании области (D). (Прим. ред.) 226
r - расстояние какой-либо точки ?, 17, f области (?>) от некоторой другой
точки х, у, г пространства, в которой предположим сосредоточенной массу,
равную единице.
Точка х, у, г будет притягиваться массами, заполняющими объем (?)), с
некоторой силой, потенциалом которой называется интеграл дг(т
u = f - , 0)
г
распространенный на весь объем (D). Здесь dr = d?dr\d$, г2 = (х - ?)2 +
+ (У - Ч)2 + U - ?)2 и интегрирование ведется по переменным ?, 17, f.
Потенциал U есть функция переменных х, у, г непрерывная вместе со своими
частными производными первого порядка по х, у, г во всем бесконечном
пространстве и обращающаяся в нуль для бесконечно удаленных (от начала
координат) точек, так что
R\U\<M. (2)
, эи ъи ъи
Л2 1 - 1 <м, Л2 1 - 1 <М, R2\~ \<М, (2,)
Ъх Ъу Ъг
где Л/есть конечная постоянная, a R обозначает расстояния точки х, у, г
от начала координат.
Если обозначим через X, Y, Z проекции на оси координат силы, с которой
точка М(х, у, г) притягивается телом (D), то получим
Ъи | -х Ъи 1) -у
Х= - = /д -г- dr, Y= - = /д -- dr ,
Э* г* Э, г3 (3)
ъи f-z
z = -- = itl dT.
Ъг г
3. Частные производные второго порядка по х, у, и г от функции U
остаются непрерывными для всех точек, лежащих вне области (D), и
удовлетворяют уравнению Лапласа
ъ2и ъ2и ъ2и
A U= - + -г + -- =0 (4)
Ъх2 Ъу2 Ъг2
вне области (D).
Для точек х, у, г, лежащих в области (D) (внутри замкнутой поверхности
(5), ограничивающей область (D)), эти производные при одном только
условии непрерывности функции д, вообще говоря, теряют определенный
Эд Ъц Ъц
смысл, но если допустить, что д имеет частные производные -, -, -,
Эт7 df
непрерывные внутри (5), то вторые частные производные от U по координатам
х, у, г будут конечны и определены во всех точках области (D) и
удовлетворяют уравнению
AU = - 4яд (5)
в области (D), которое носит название уравнения Пуассона.
227
Доказательство этой общеизвестной теоремы можно найти в любом трактате по
теории притяжения и во многих курсах анализа *). Условие непрерывности
первых частных производных от функции р есть одно из достаточных условий
справедливости только что высказанной теоремы и может быть заменено
другими условиями более общего характера.
Одно из таких условий указано впервые Гёльдером в его диссертации
''Bcitrage zur Potentialtheorie" (Inauguraldissertation, Stuttgart,
1882). Мы формулируем теорему Гельдера следующим образом:
Если вокруг точки М(х, у, г) области (D) можно построить такую область
