Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнении (27) ту же операцию сдвига шкалы характеристических чисел д* на
некоторый отрезок с', какую произвели над шкалой характеристических чисел
X*, соответствовавших уравнению (26) (п. 10), т.е. представим уравнение
(27) в виде
V"(x) + [vp(x) - q2(x)\ V(x) + / (х) = 0, (60)
полагая
v = p+c', q2(x) = ql(x)+ с'р(х), (61)
и будем рассматривать V(x) как функцию параметра v при тех же самых
предельных условиях (29) (п. 10).
Обозначим через
U,(x) и U2(*) (62)
два независимых частных решения уравнения
V"(x)-q2(x) К(х) = 0, (63)
подчиненные условиям
U,(e) = l. U',(a)=0,
U2(a)=0, Ui (а) = 1. (63|)
Если положим с' = 0, то уравнение (63) обратится в уравнение (32), а
Uj(x) и U2(x) - соответственно в функции Ui(x) и U2(x), удовлетворяющие
условиям (33). Очевидно, что последние функции будут играть по отношению
к (62) ту же самую роль, какую в рассуждениях предыдущих пунктов Mi(x) и
и2(х) играли по отношению к функциям U\(x) и U2(x).
17. Обозначим через П{р) целую трансцендентную функцию от v, вещественные
корни которой служат полюсами мероморфной функции У(х, и),
удовлетворяющей уравнению (60) и предельным условиям (29). Очевидно,
П(и) = П(р) = са(\) (64)
и, в силу (27,) и (61),
П(0) = со(-(с + с')) = П(-с'). (64,)
127
Применяя к рассматриваемому случаю выводы предыдущего пункта, приходим к
следующему заключению:
Если можно найти такое положительное число с, при котором
и'2(Ь)-0и2(Ь)ФО, (65)
то ?2(0) будет, наверное, отлично от нуля, т.е. метод Шварца - Пуанкаре
применим к уравнению (60) и устанавливает существование бесчисленного
множества характеристических вещественных чисел
Vl, v2 vk, . ..
и им соответствующих фундаментальных функций
• • •, Vk(x),
обладающих всеми теми свойствами, какие доказаны в V главе.
При этом из тождества (64) будет следовать, что и в исключительном
случае, когда со (0) обращается в нуль одновременно с разностью
u'2(b) -0ы2(й),
функция со(Х) не может равняться тождественно нулю при всяком X, и
поэтому, в силу того же тождества (64), ?2(0), равное ш{- с), не будет
равно нулю при всяком сив том случае, когда
и'2(Ь)~0и2(Ь) = О. (66)
18, Остается только показать, что существует такое положительное число с,
при котором неравенство (65) наверное выполняется при условии (66).
Приняв в расчет выражения (49) и (491) для (х) и U2(x), получаем
U2(b)-pU2(b) = u'2(Ь) -0и2(Ь) +
+ c{[u2(b)-P"2(b)] f р(х)иl(x)u2(x)dx -
а
- |и',(й)-0м,(й)] / p(x)ul(x)dx)+ .. . а
Если и2 (х) удовлетворяет условию (66), то
A =U'2(b)-PU2(b) = -c[u\(h)-Pul(b)] J p(x)u\(x)dx + ..., (67)
а
причем выражение и\(b) -(3ut (b) не может равняться нулю. Допустив
противное. т.е. что и\ (b) - 0И! (й) = 0. выводим отсюда, при помощи
(66),
и i(b) и'2(Ь) - и2(Ь) и\(Ь) = 0,
что невозможно, ибо nt(x) и и2(х) удовлетворяют при всяком х условию
U,(X)U2(X) -и2(х)и',(х)= 1.
ЭЛ
Из равенства (67) заключаем поэтому, что -
Эс
что хотя A |t.=0 = 0, но для ряда значений с, достаточно близких к нулю,
А. сохраняет значения, отличные от нуля.
128
Ф 0. Отсюда следует,
<=о
Существование числа с, при котором
A =U'j(b)-0Uj(b)
не равно нулю, доказано, а вместе с тем доказано и утверждение п. 17.
Итак, метод Шварца - Пуанкаре применим во всех, без исключения, случаях,
каковы бы ни были конечные постоянные а, 0 и у в предельных условиях
первого класса, и доказывает существование полной системы вещественных
характеристических чисел \к (к = 1,2,3,...), среди которых может
заключаться и число, равное нулю, и соответствующей этим числам полной
системы фундаментальных функций Ук(х)(к = 1, 2, 3, ...) со всеми их
свойствами, указанными в V главе.
19. Переходим к случаю предельных условий второго класса. Предположим,
что соответствующее этому случаю неравенство (34,) не соблюдается (п.
10),т.е. что
оо(0) = 2 - -i- U\(b) -pu2(b) + тм2(Ь) = 0. (68)
При этом предположении непосредственное применение метода Шварца -
Пуанкаре, развитое в предыдущей главе, также становится сомнительным. Но,
так же как и в предыдущем случае, законность его применения
восстанавливается, как сейчас увидим, указанным выше сдвигом шкалы
характеристических чисел.
Заменяя, как и в предыдущем случае, уравнение (26) уравнением (27) и
удерживая прежние обозначения, пояснять которые вновь нет надобности,
составим выражение П (0), соответствующее предельным условиям вида
У(Ь) = р У (а), У '(b) = -j У'(а) + т У (а).
Получим рП(0) = 2р -- U\ (b) -р1 U2 (b) + рт112(b), откуда при помощи
(49) и (49,) (п. 12) выводим
рП(0) = ш(0) +с(- u2(b) / р(х) u\(x)dx +
а
+ (u\(b) - p3u2(b) + рти2(Ь)) / p(x)ul(x)u2(x)dx -
а
- р(тих(Ь)-ри\(Ь)) / p(x)ul(x)dx)+ ...
а
Из равенства (68) следует, во-первых,
их(Ь)-р1и2(Ь) + рти2(Ь) = -2(р - ut(b)) и, во-вторых,если предположим,
что и2(Ь) Ф 0,
..................... (р-иЛЬ))2 *)
p(Tut(b)-put(b))= -------------
________________________ u2(b)
*) Из равенства рги'г(Ъ) = 2р - и,(Ь) + рти,(Ь), учитывая, что u,(ft)(ft)
= 1 + + ц,(Ь)ы',(Ь), выводим ри2(Ь) 1ри',{Ь) -тм,(*)| = 2ри,(Л) -и>(6) -
