Температура - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
участвовать в тепловом
движении наравне с частицами жидкости.
Рассматривая пылинку - шарик с радиусом г0, движущуюся в жидкости с
коэффициентом вязкости г|, Эйнштейн получил формулу для среднего квадрата
ее смещения (I - время):
('дгч = kT t
У' /СР 8ЛД/-0 *¦
Еще до работы по теории броуновского движения Эйнштейн обратил внимание
на то, что из наблюдения движения растворенных молекул в жидкости (т. е.
из измерений коэффициента диффузии) можно определить число Авогадро. Для
этого надо найти из опыта k и воспользоваться известным значением газовой
постоянной
D
Nд=-. Эйнштейн это и сделал. Полученное им значение Na = 3,3 -1023 близко
совпало с принятым тогда значением. Расчет Эйнштейна был ярким
доказательством реальности молекул, в чем в 1905 г. еще многие
сомневались *).
Из формулы для среднего квадрата смещения мы видим, что, измеряя смещение
пылинки, можно определить температуру жидкости. Этот способ должен быть в
принципе очень обещающим. Пылинки - это идеальный газ. Тепловое
равновесие устанавливается быстро. Трудно только точно измерить А2.
Можно рассмотреть и другие примеры броуновского движения. Например,
вместо пылинки можно рассмотреть шарик с радиусом г0, который может не
только
двигаться поступательно, но и вращаться. Можно вы-
числить средний квадрат угла поворота шарика вокруг своей оси <6%.
Эйнштейн дал следующую формулу:
/С2\ кТ 1
?СР ~ 4лцг*
*) Полезно отметить, что среднее смещение пылинки - это среднее по
времени, вычисленное для одной пылинки. Эйнштейн использовал, как мы
знаем, среднее по времени, а не среднее по частицам, как считали в то
время в кинетической теории газов. Это позволило ему решить задачу о
броуновском движении.
148
Шарик может служить термометром, причем для измерения отношения
температур не надо знать даже значение k.
Нетрудно получить аналогичную формулу для шарика, который закреплен на
невесомой пружинке с коэффициентом упругости а. Приравнивая среднюю
потенциальную энергию шарика (как для частицы в газе)
обычной величине у 67':
=4 Л7\
получим для среднего квадрата смещения (хг/ср = у.
Приделайте сбоку от шарика шкалу - и термометр готов!
ФЛУКТУАЦИЯ
Говоря о температуре, энтропии, мы следовали взглядам термодинамиков
прошлого века. Предполагалось, что эти величины имеют строго заданное
значение в каждой точке и в состоянии теплового равновесия температура и
давление строго постоянны по объему. Эти предположения лежали в основе и
первого и второго начала термодинамики.
На самом деле, конечно, все величины изменяются со временем и с
координатами. Выводя формулу для давления газа на стенку, мы говорили
лишь о среднем давлении. Если бы можно было следить за давлением
подробнее, измеряя его через каждые т секунд (где т так мало, что число
ударов о стенку за время т было бы небольшим), то прибор показал бы, что
давление все время колеблется, флуктуирует. Так как давление
пропорционально плотности энергии в единице объема, то с ,его изменением
изменится также и энергия. Флуктуации энергии (как и других величин)
удобно было бы характеризовать отклонением ее величины от средней: (е -
е0)ср. Но эта величина в среднем равна нулю *). Поэтому естественно
характеризовать флуктуации средним значением квадрата этой величины:
б (ег) = <(е - еср)а)ср = <е2)ср - <е)?р.
*) Отклонение в меньшую сторону и отклонение в большую сторону взаимно
компенсируются.
149
Эта величина называется средней квадратичной флуктуацией. Именно о ней
обычно идет речь, когда говорят о флуктуациях. Вычислять флуктуации-дело
трудное, и мы приведем только несколько окончательных результатов.
Для флуктуации давления получается формула
или
6(р2) ср 1
~ N '
где N - число частиц в системе. Это и есть оценка точности самого понятия
давления. Так как N обычно очень велико, то флуктуации давления обычно
очень малы. Аналогичная формула для флуктуаций температуры одноатомпого
газа имеет вид
ИТ11 = JL±
Т1 2 N '
Такие формулы показывают, сколь точны в обычных условиях
термодинамические понятия. Обе формулы - для флуктуации давления и для
флуктуации температуры - почти совпадают. Обе они утверждают,
что
точность этих понятий растет, как корень квадратный из числа частиц:
8(Р-) .,8 (Г-) 1
р- Т- N '
Так, для 1 мм3 газа (при давлении 1020 гектопаскалей) N ж 1(Нв и
относительные флуктуации составляют примерно К)-16. Значит, для такого
количества газа давление и температура имеют точный смысл.
Но мы начали разговор о флуктуациях не только для обоснования привычных
понятии, а для того, чтобы найти способ измерения температуры. Написанные
выше формулы ничего нам в этом смысле не добавляют, так как измерять
флуктуации термодинамических величин очень трудно. Дело становится
несколько проще, если перейти к величинам электрическим.
В электрической цепи, в которой нет э. д. с., ток не идет. По крайней
мере, это следует из закона Ома. В действительности это не совсем так.
Вернее, это утверж-
