Температура - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Это значит, что за некоторое большое время Т атом 1 будет находиться в
объеме V в течение времени Г, =
= у- Т. За это же время 7\ атом 2 будет находиться
в том же объеме V в течение времени
98
Отсюда можно заключить, что вероятность найти в объ-
/ V \2
еме V атом 1 и атом 2 вместе равна w2 - ly-) • Это рассуждение можно
продолжить, включив в него и другие атомы.
Таким образом, вероятность найти в объеме V все Nд атомов (весь моль)
равна
( v \NA
Эта вероятность относится к такому странному состоянию, когда газ,
заполняющий весь сосуд, случайно сожмется и займет объем V. Число
Авогадро невообразимо велико, поэтому очень мала: никогда не бывает,
чтобы газ сам очистил хотя бы самую незначительную долю объема, т. е.
чтобы V отличалось от У" на сколько-нибудь заметную величину.
Если мы теперь сравним формулу для вероятности с выражением для энтропии
идеального газа (при Т = Т0)
v7
или, для одной молекулы,
S-S"= king-,
У о
то увидим, что *)
S - S0 = k\nw.
Это и есть формула Больцмана для идеального газа при Т = const.
КАК ЗАВИСИТ S ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ?
Доказательство формулы Больцмана для газа, в котором меняется
температура, существенно более сложно. Мы приведем не вполне строгое
рассуждение.
Для этого вспомним, что мы говорили в связи с распределением скоростей
Максвелла. Будем следить
¦S0=Rln-.
*) На самом деле мы вычисляем не саму энтропию, а ее приращение при
переходе от объема Va к объему V. Энтропия исходного состояния газа
(температура Т0, объем У0) остается неопределенной постоянной. Это
относится н ко всем дальнейшим формулам.
4*
99
за тем, как движутся атомы в пространстве скоростей, т. е. как изменяется
скорость атомов со временем. В отличие от обычного пространства,
пространства координат, в котором атом мог находиться в любой точке с
равной вероятностью, в пространстве скоростей его "координаты" v
принимают лишь значения, близкие к среднему значению скорости:
Мы не будем уточнять, о какой средней скорости идет речь -
среднеквадратичной, наиболее вероятной и т. д., - и оставим коэффициента
без внимания. Скорость атомов, как это следует из распределения
Максвелла, не равна точно vcp. Но можно сказать, что большая часть атомов
имеет скорость, которая отличается от пср не более чем на Р VkT, где р -
еще одна постоянная, точный смысл которой нам не важен.
Такое утверждение можно оправдать, если вспомнить, что говорилось о
дисперсии - разбросе значений о2 (или энергии) около среднего значения
(строгое обоснование его сложно). Можно сказать, что в пространстве
скоростей подавляющая часть молекул оказывается в объеме, в котором все
точки находятся на расстоянии, не большем чем примерно р УТТ, от точки,
отвечающей значению компонент средней скорости.
Теперь можно сказать, что в пространстве скоростей почти все атомы
находятся в объеме величиной порядка р3 (ЛГ)3'2. Если температура газа
изменилась до значения Т, то этому в пространстве скоростей отвечает
картина, в которой почти все атомы "столпились" в меньшем объеме, если Т
sg Т", или "разбежались" в больший объем, если Т > Т0.
Вычислить вероятность такого редкого события совсем просто. Надо
действовать так же, как действовали мы при вычислении вероятности
"собирания" газа в меньший объем в обычном пространстве. Вероятность эта
равна
Как легко видеть, коэффициенты исчезли из формулы - потому-то мы имели
основание ими не интересоваться.
^ сР = a Y kT.
100
Энтропия равна логарифму этого выражения, умноженному на R. Значит,
S -So = cKln4- (при V = У0).
1 О
так как3/3 NА = cv есть теплоемкость 1 моля газа при постоянном объеме.
Выведенная формула совпадает с той, которая была получена из
термодинамики. Однако если сравнить этот вывод со старым выводом, в
котором вычислялось количество тепла и работы и совсем не упоминалась
вероятность, то приходится удивляться, сколь разные точки зрения в физике
приводят в конце концов к одним и тем же формулам. Возможность смотреть
на физические явления с самых разных точек зрения - характерное свойство
современной науки. Научиться этому - первейшая задача естествоиспытателя.
плотность состояний
Совсем по-другому появляются энтропия и температура в системах, в которых
действуют законы квантовой механики. В таких системах, как, например,
атомное ядро, нельзя измерять у частиц (нуклонов) их координаты и
скорости. Да это и никому не нужно. Атомное ядро характеризуется тем,
какие значения энергии оно может иметь*),-эти значения энергии составляет
то, что называют спектром атомного ядра.
Если атомное ядро получило извне большую энергию, например, оно захватило
нейтрон, то после такого акта захвата оно с примерно равной вероятностью
может оказаться в одном из многих "конечных" состояний. Объем ядра почти
не изменяется, поэтому свобода выбора конечного состояния ограничивается
выбором энергии. Задача становится похожей на задачу вычисления
вероятности в пространстве скоростей. Однако в случае ядра мы ничего не
