Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
траектории,- Прим. ред.
124
5. Явления электронного переноса
направлению поля и истинная скорость движения значительно больше скорости
дрейфа. Это показано на рис. 5.1.
Для описания процессов соударений удобно ввести ряд новых величин. В
квантовой теории столкновений обычно вводят эффективное сечение
рассеяния, являющееся мерой вероятности столкновения того или иного рода.
Например, можно ввести величину а(0, <p)da>, определяющую вероятность
соударения, в результате которого электрон с исходным направлением
движения 0=0 будет двигаться после столкновения по направлению (0, <р),.
заключенному в небольшом телесном угле da, где 0, ср - сферические
угловые координаты. Исходя из этой величины, можно определить
интегральное сечение рассеяния crt по формуле
Другими полезными величинами являются среднее время свободного пробега т
и средняя длина свободного пробега 1=т, где v - скорость электрона. Пусть
п электронов движется со скоростью v в заданном направлении. Количество
соударений; которые испытывают электроны за небольшой промежуток времени
dt, должно быть пропорционально как п, так и dt. Поэтому количество
электронов n(t), которые к моменту времени t еще не испытали ни одного
соударения, должно удовлетворять дифференциальному уравнению
где т(и)- некоторая величина, не зависящая от t и совпадающая, как можно
будет убедиться ниже, со средним временем между соударениями. Из (5.3)
следует
где п=п0 прц ^=0. Вероятность того, что электрон к моменту времени t еще
не испытал столкновения, определяется отношением л/я о и поэтому равно
ехр(-tlx). Среднее время t между двумя соударениями равно
Таким образом, величина т действительно играет роль среднего времени
между соударениями, или среднего времени свободного пробега. Отсюда
следует, что длину свободного пробега I можно найти с помощью равенства
l(v)=m(v). Легко показать также, что l/l=Not, где N - число центров
рассеяния электронов в единице объема, так что l/x=Notv.
(5.2)
(5.4)
(5.5)
о
5. Явления электронного переноса
125
Простейшим из возможных вариантов рассеяния является случай изотропного
рассеяния, характеризующийся тем, что после столкновения все направления
движения электрона равновероятны. В этом случае скорость дрейфа,
приобретенная электроном под действием поля на длине свободного пробега,
полностью теряется в процессе столкновения. Как будет видно из
дальнейшего (см. разд. 8.5), такое положение имеет место в случае
рассеяния на тепловых колебаниях решетки. При других механизмах
рассеяния, в частности для рассеяния кулоновским полем ионизованных
примесных центров, преобладает рассеяние под малыми углами. В этом случае
интегральное сечение рассеяния ot, определяемое равенством (5.2), удобнее
заменить другим интегральным сечением рассеяния <тс, которое получается в
результате усреднения <т(0, ф) с помощью надлежащей весовой функции,
учитывающей изменение скорости дрейфа при соударении.
Рассмотрим электрон, движущийся до соударения параллельно оси г (0=0) со
скоростью о20, а после соударения - в направлении (0, ф). Так как угол
между начальным и конечным направлениями скорости равен 0, то изменение
6vz составляющей скорости электрона по оси г равно
6о2=ц2о(1-cos 0). (5.6)
Если а (0, ф) зависит лишь от 0, то среднее изменение vz в расчете на
одно столкновение дается формулой
Отсюда следует, что первоначальная скорость дрейфа ц20 полностью теряется
в среднем после ot/ac столкновений. Вероятность одного столкновения
электрона за время dt равна Nva{dt, а вероятность столкновения,
приводящего к потере первоначальной скорости, равна Nvoddt. Поэтому
сечение рассеяния <тс является более уместной величиной для описания
явлений переноса (см. [1], § 10.3.1). В связи с этим необходимо ввести
еще понятие об эффек-
Я
5 (1 -cos 0) a (0) sin 0 db
&z = vz0 2---------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------
5 a (0) sin 0 dQ
(5.7)
о
Определим сечение рассеяния ac с помощью равенства
Я
<тс (0) = 2я J(1 -cos 0) а (0) sin 0 d0.
(5.8)
о
Тогда
(5.9)
126
5. Явления электронного переноса
тивном времени релаксации тс с помощью равенства
± = l(l-cos<9, (5.10)
где
(1 -cos 0) =
Ограничимся пока рассмотрением только таких соударений, в результате
которых полностью теряется приобретенная ранее скорость дрейфа. Используя
введенные величины ас и atl можно будет учесть также и другие возможные
случаи рассеяния. Пусть электрическое поле ? направлено по оси х.
Рассмотрим электрон, испытавший столкновение в момент времени /=0.
Составляющая его скорости по оси х к моменту времени t при условии, что
электрон не успел столкнуться вторично, равна
vx = vx0-^, (5.11)
где vx0 - значение vx при /=0; те - соответствующая эффективная масса.
Выражение (5.11) необходимо усреднить по всевозможным значениям времени t
с помощью выражения ехр(-th)dt/r, определяющего вероятность соударения в
интервале времени от t до t+dt. Тогда
