Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
всех проблемах, которые будут обсуждены в дальнейшем, эти уровни можно
считать полностью заполненными и поэтому их можно вовсе исключить из
рассмотрения. В действительности имеют существенное значение только
уровни в верхней части валентной зоны, уровни в нижней части зоны
проводимости, а также примесные уровни, занимающие промежуточные
положения. Наша задача заключается в том, чтобы выяснить, как
распределяются электроны по уровням энергии при заданной температуре Т,
полагая, что в состоянии с минимальной энергией, соответствующей
абсолютному нулю температуры, они заполняют все состояния в валентной
зоне и все примесные уровни в запрещенной зоне. Для этой цели необходимо
воспользоваться фундаментальными соотношениями статистической физики,
которые определяют вероятность заполнения электроном состояния с заданной
энергией ?. Пусть энергия ?, соответствующая определенному уровню,
измеряется относительно произвольного, но фиксированного начала отсчета.
Тогда вероятность Ре(?) заполнения энергети-ческого уровня электроном
определяется выражением
где ?F - постоянная, которую находят из условия равенства ожидаемого
полного числа электронов во всех состояниях фактическому числу электронов
в системе. Функция, описываемая равенством
100
4. Равновесные концентрации носителей заряда
х 1,0 1
\ \
\ к* V*- й*
0,5^ \ * \
\\
Ns
. 1 0 1 --J
-6 -4 -2 1,0 2 4 6
X
X
Рис. 4.1. Функция Ферми-Дирака f(x) и функция 1-f (х). Пунктиром нанесены
графики функций е* и е~х.
(4.1), носит название функции распределения Ферми-Дирака. Это
распределение справедливо для любой совокупности свободных частиц.
которые, аналогично электронам, подчиняются принципу Паули 1(. Равенство
(4.1) можно записать в виде
/>"(?) = /1^^] . (4.1а)
где
/М = 7гтГ*
Функция f(x) есть функция Ферми-Дирака. На рис. 4.1 представлена ее
зависимость от х. При выводе формулы (4.1) предполагалось, что все уровни
энергии невырождены. Если уровни энергии g-кратно вырождены и если
вероятность заполнения любого уровня энергии электроном не зависит от
степени заполнения этого же уровня другими электронами, то в этом случае
мы имеем
Л(?) = ^[тг]' (4.3)
') Вывод распределения Ферми -Дирака можно найти в любом элементарном
учебнике по квантовой статистике. Простой и весьма изящный вывод этого
распределения приведен в книге Шредингера [1], гл. VII,
4. Равновесные концентрации носителей заряда
101
Этот результат получается непосредственно, если каждый g-кратно
вырожденный уровень заменить группой из g очень близких друг к другу
невырожденных уровней энергии и воспользоваться формулой (4.1а).
Разрешенные уровни энергии для свободных электронов в идеальном кристалле
обладают вырождением именно такого типа, и каждый из них можно считать
двукратно вырожденным в соответствии с двумя возможными направлениями
спина. Заполнение такого уровня электроном с заданным направлением спина
не мешает заполнению этого же уровня электроном с противоположным спином,
но препятствует его заполнению электроном с тем же направлением спина.
При рассмотрений примесных уровней мы столкнемся с вырожденными уровнями,
для которых заполнение уровня одним электроном совершенно исключает
возможность заполнения этого же уровня вторым электроном.
Можно показать, что функция f(x) обладает следующими свойствами: она мала
при больших положительных значениях х, поэтому вероятность заполнения
уровня ? электроном мала, если (В-?Р)^> ^>к7\ С другой стороны, /(х)~1
при больших отрицательных значениях х, откуда следует, что уровень будет
почти наверняка занят, если (В-BF)<g.kT. Отметим также, что /(0)=1/2, так
что Ре(Е)=1/г при ?=?F. Это значит, что если в спектре энергии существует
уровень с ?=?F, то он с одинаковой вероятностью может оказаться занятым
электроном или быть пустым. В любом случае все уровни с энергией ? > ?Р
оказываются преимущественно незанятыми, тогда как все уровни с энергией
?<?F преимущественно заполнены. Уровень энергии, соответствующий ?Р,
носит название уровня Ферми, и указанное выше свойство этого уровня может
использоваться для определения ?Р. Величина ?Р связана с
термодинамическим потенциалом, она остается постоянной в "многофазной"
равновесной системе, например в контакте двух различных полупроводников в
состоянии термодинамического равновесия. При больших положительных х с
большой точностью можно заменить функцию/(л) на е~х, так что при Е-?Р^>кТ
имеем
Pt (?) = exp [- = А ехр [- , (4.4)
где .4 - нормирующая постоянная. Такой вид функции / (а) в точности
совпадает с известным классическим распределением Р{Е) электронов по
энергиям, при выводе которого принцип Паули не учитывается. Отсюда ясно,
что распределение Ферми - Дирака переходит в классическое распределение
для тех значении ?, при которых ?-?Р^>к7\ В этих условиях система
считается невырожденной.
Вероятность Ph(E) того, что уровень с энергией ? не будет
102 ' 4. Равновесные концентрации носителей заряда
