Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
будет иметь размерность длины, поэтому можно ввести безразмерное
расстояние от стенки в виде
Зависимость безразмерной скорости (6.2) от безразмерного расстояния (6.3)
? = ?СЧ) (6-4)
будет представлять собой так называемое универсальное распределение
скоростей по сечению трубы в том смысле, что эта зависи-
35
30
25
20
/5
10
5
10 7,5 20 2,5 3,0 3,5 А,О 45 50
Рис. 103.
мость должна оставаться одной и той же для разных несжимаемых жидкостей,
имеющих разные коэффициенты вязкости и плотности.
Если по оси абсцисс откладывать десятичные логарифмы от безразмерного
расстояния, а по оси ординат - безразмерные скорости, то данные различных
опытов будут располагаться вблизи прямой, уравнение которой (рис. 103)
представляется в виде
ср = 5,5 -j- 5,75 lg т). (6.5)
На этом графике пунктирная кривая отвечает закону Блазиуса, согласно
которому скорость пропорциональна расстоянию от стенки
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ЦИЛИНДР. ТРУБЕ 477
в степени у- . Следует заметить, что сама гипотеза Прандтля принималась
по отношению к распределению скоростей вблизи стенки, тем не менее,
опытные данные о величинах скоростей вблизи оси трубы дают точки, мало
отклоняющиеся от прямой (6.5).
Для области ламинарного режима зависимость (6.4) будет иметь
вид
<? = 7]. (6.6)
Зависимость (6.6) оправдывается экспериментальными данными только до
значений
7] = 10.
При рассмотрении установившегося турбулентного движения несжимаемой
жидкости в плоской трубе в предшествующем параграфе логарифмический
профиль распределения скоростей был установлен в предположении, что
касательное напряжение всюду постоянно и что путь перемешивания зависит
линейно от расстояния от стенки. Однако тот же профиль распределения
скоростей можно получить и не прибегая к указанным специфическим
предположениям, а воспользовавшись основными соотношениями для
турбулентного трения и для линейного масштаба полей пульсаций. В самом
деле, составляя уравнение равновесия сил осреднённого давления и
турбулентного трения на элементарный объём жидкости, можно
получить
уравнение _
§ = %¦ м
Если считать, что перепад осреднённого давления не зависит от расстояния
у от стенки, то после интегрирования уравнения (6.7) получим линейный
профиль распределения турбулентного трения по сечению трубы
, = 7o(l -т)' <е-8)
где h-расстояние от стенки средней линии, на которой трение считается
равным нулю, а т0 - значение трения на самой стенке. Используя
теперь выражение (5.12) для турбулентного трения и
равенство (5.26) для линейного масштаба полей пульсаций, получим:
/_ и'
- 4 ц"'
Отсюда будем иметь дифференциальное уравнение для определения
распределения скоростей по сечению плоской трубы
U" * 1 /с
478
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. XII
Знак минус в формулах для I и (6.9) взят из того условия, что при U' > О
U" < 0. Выполняя интегрирование в (6.9), получим:
Постоянную интегрирования определим при помощи следующих рас-суждений.
Для достаточно больших значений числа Рейнольдса производная U' вблизи
стенки (у = 0) имеет достаточно большое значение, мало отличающееся от
значения, отвечающего ламинарному
малое значение. На этом основании можно считать, конечно с некоторой
погрешностью, что на стенке производная U' обращается
Проводя интегрирование (6.10) и определяя постоянную интегрирования из
условия задания максимального значения скорости на средней линии, получим
следующую формулу для профиля распределения скоростей осреднённого
течения в плоской трубе:
На рис. 104 представлена кривая распределения скоростей (6.11) при -/ =
0,40 и отмечены те точки, которые получены на основании экспериментов
Никурадзе в круглой цилиндрической трубе. Как видно из рисунка, опытные
точки располагаются достаточно близко к кривой распределения скоростей в
плоской трубе для широкого интервала значений чисел Рейнольдса от 4 ¦ 10s
до 3240 • 108.
Если перейти к непосредственному рассмотрению установившегося
осреднённого турбулентного течения в круглой цилиндрической трубе, то
вместо уравнения равновесия (6.7) мы должны использовать уравнение
равновесия сил давления и турбулентного трения, приложенных к кольцевому
цилиндру с внутренним радиусом г, внешним г-|-Аг и длиной Дх, т. е.
уравнение
трению , при условии, что коэффициент вязкости а имеет весьма
и для производной U' получим:
(6.10)
и
max
V
U
1
'Ч1-/1-тН/1
У_
h
j. (ело
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ЦИЛИНДР. ТРУБЕ 479
Если и в этом случае предположить, что перепад осреднённого давления не
зависит от расстояния г от оси трубы, то уравнение (6.12) можно
проинтегрировать по переменному г\ получим:
г др . С
2"dx~i, Т
С
Так как на оси трубы турбулентное трение должно обращаться в нуль, то
постоянную С необходимо положить равной нулю. Если радиус трубы
обозначить через а, то сила трения вблизи стенки будет равна
а др
z° - ~ "2 ~дх '
(6.13)
16
14
12
10
О
Вводя расстояние от стенки у, полагая
г = а -у
