Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Шредингера, связанное с поляризацией волны. Возможны два варианта: 1)
вектор D перпендикулярен плоскости чертежа и 2) вектор D лежит в
плоскости -чертежа. В первом случае величины (k + K')-D(rzK') и т. д.
будут равны нулю, а во втором они отличны от нуля. Обсудим сначала более
простой первый вариант, а затем выясним, как меняется ситуация при
переходе ко второму. В рассматриваемом случае уравнение (6.25) сводится к
двум:
[тй7"^1)(0) + "'к!1>(к') = 0'
"(к + К')2 Р (0) + Pfrff - ¦$] Р (К') - о.
(6.27)
Мы получили систему из двух однородных линейных уравнений с двумя
неизвестными D(0) и D(K'). Как обычно, она имеет нетривиальное решение
только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов,
равен нулю.
Соответствующее секулярное уравнение имеет вид
I-(4r-?][Jw-?]-I'V(k+K'>!-0- <6-28>
Отсюда определяется зависимость ш2/с2 от к. Выписывать полное решение мы
не будем ввиду его очевидности. Для исследования его удобно записать
вектор к в виде суммы двух компонент, одна из которых, kn,
перпендикулярна отражающим плоскостям (т. е. параллельна вектору К7),3
другая, к(, параллельна этим плоскостям. Брэгговское отражение получается
при kn = = -К'/2. В этой точке два выражения, определяющие плоские волны,
со
kl + kt "2 (k/i+KT + k?
и (6-29)
приводят к одному й тому же значению со. Две кривые, изображающие
зависимость шотк" и описываемые уравнениями (6.29), представляют собой
гиперболы. Они показаны на фиг. 6.2 вместе с другими гиперболами,
получающимися из уравнения (6.25) при различных целочисленных значениях
п. В каждой точке,
§ 5. Дифракция рентгеновских лучей
173
где нижняя часть одной гиперболы пересекается с соседней, две кривые
"расталкиваются", как показано на фиг. 6.2.
Как видно из фиг. 6.2, картина аналогична той, которая получается для
энергетических зон. Взаимодействие между различными функциями приводит к
появлению узких запрещенных
зон при k" = ±К72, ±ЗК'/2 Они соответствуют частотам,
при которых в кристалле не могут распространяться незатухающие волны.
Сейчас мы увидим, какой смысл имеет это утверждение. Если попытаться
решить уравнение (6.28) для данного
Фиг. 62. Зависимость угловой частоты со от компоненты kn волнового
вектора, нормальной к рассеивающей атомной плоскости.
Кривые соответствуют динамической теории рассеяния рентгеновских лучей
[уравнения (6.28) и (6.29)]. Ширины запрещенных зон здесь резко
преувеличены - в действительности они слишком узки, чтобы быть заметными.
случая, то окажется, что решение существует только при ком-плексных
значениях к^. Последние отвечают волнам, затухающим при распространении в
глубь кристалла. Интересно оценить ширину запрещенной зоны. Ее можно
найти, полагая в уравнении (6.28) к" = - К'/2. При этом будем иметь
(K72)2 + k? ш2
(хс)
ср
= w
ДО
+ к?
со2 (к72)2 + к2
(хе)
=Р
(1 ± w),
(6.30)
а ЛГ (к72)2 + k2 / 1 \
-=V -(к,)ср {l±-2W!-
В пренебрежении малой величиной w формулы (6.30) дают то самое значение
частоты, которое, согласно элементарной теории, отвечает брэгговскому
отражению. Поскольку w - очень малая величина, порядка 10-5, видно, что
затухающая волна существует только в непосредственной окрестности
брэгговской частоты. Заметим, что в формулах (6.30) мы пренебрегли
различием между w и w/(xe) Ср, поскольку разность этих величин порядка
10-10.
174
Г л. 6. Теория дифракции рентгеновских лучей
Найдем общее решение уравнения (6.28) в таком виде, чтобы явно получить
упомянутые выше затухающие волны. Положим
к" = - -у + Ak",
о,2 (K'/2)2 + k2 ( /V\ о,2
л2 I л>2
(*е)
ср
(#)¦
(6.31)
где Дк" и Д(со2/с2) -отклонения волнового вектора и величины iо2/с2 от
брэгговских значений. При подстановке (6.31) в (6.28) все большие
величины взаимно уничтожаются, а для малых величин получается уравнение
-2 (?) •4к- - 4 (?)] [2 (?)' 4к" - 4 (?)] - "а (?)' ¦ <6-32>
в котором мы отбросили члены высших порядков. Выполним умножение и
воспользуемся соотношением
I К' 1 ш_
Д-2- = -^-5тед, (6.33)
вытекающим из формулы Вульфа - Брэгга, если пренебречь в ней слабым
влиянием показателя преломления (хе)ср. Здесь 9В - угол Брэгга для
предполагаемой частоты. Получим
щ" 1 / / Дсо \2 / w
Дк"= ±_f Дыэ^]/ (iSj) ¦ <6-34>
Здесь использовано соотношение Д (со2) =2со Дсо.
Из формулы (6.34) вновь вытекает результат (6.30): в самом
деле, при kn = -К'/2, или Дк71 = 0, квадратный корень должен
быть равен нулю и Дсо = ±сов(ш/2). Можно, однако, пойти
дальше, заметив, что если величина со/сов отклоняется от единицы более
чем на ±ш/2, то величина Дк" оказывается вещественной. При этом мы
получаем уравнение семейства кривых, изображенных на фиг. 6.2. Формула
(6.34) получена в приближении, пригодном только в непосредственной
окрестности запрещенной зоны, т. е. вблизи точки к"=-К'/2 на фиг. 6.2.
Внутри этой зоны, как нетрудно видеть, величина Дкл - чисто мнимая и, как
мы уже отмечали, имеет место затухание. Максимальное затухание получается
при со = сов, или Дсо = 0. При этом
