Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
решению уравнения Шредингера для частицы в поле синусоидального
потенциала. (Последняя задача детально рассматривалась в т. 2, гл. 6, §
61).) Таким путем можно прийти к количественной теории электронного
аналога бриллюэновского рассеяния (качественно это явление было описано в
предыдущей главе). В результате определяется вероятность рассеяния
электрона звуковой волной известной амплитуды.
Далее нужно с помощью кинетической теории найти измененную функцию
распределения электронов по скоростям (или по импульсам), принимая во
внимание как действие внешнего ускоряющего поля, так и рассеяние. Следует
помнить, что фактически не существует никакого фиксированного времени tt,
протекающего до столкновения, - можно говорить только о вероятности
столкновения. Последняя в данном случае зависит (в силу статистики Ферми)
от степени заполнения состояния, в которое электрон может перейти при
рассеянии. Далее, вероятность рассеяния нельзя считать одной и той же для
всех электронов независимо от их скоростей или импульсов. В результате
всех этих усложнений полная теория проводимости оказывается очень гро:
моздкой. Тем не менее она может быть полностью построена только на основе
изложенных выше принципов2). Уравнение статистической механики, из
которого находится возмущенная функция распределения электронов в
пространстве импульсов, называется уравнением Больцмана3). Вывод и его
обсуждение можно найти в любом учебнике по кинетической теории. Реше-
1) 'См. также [']. - Прим. ред.
2) При более подробной квантовомеханнческой трактовке выясняется, что
рассматриваемая теория явлений переноса, основанная на квазикласснче-
ском уравнении Больцмана, в определенных случаях встречается с серьезными
трудностями. Точное выражение для электропроводности, полученное метода-
ми квантовой механики, сводится к результату кинетического уравнения лишь
при не слишком малых значениях подвижности и в не слишком сильном маг-
нитном поле. Подробнее об этом см., например, в работе [l0J. - Прим. ред.
*) Часто употребляется также термин "кинетическое уравнение". - Прим.
рад.
$ 4. Эффект Холла
ние этого уравнения, однако, связано с трудностями. Здесь уже оказывается
недостаточным предположение, которым мы пользовались в элементарной
теории, постулируя, что функция распределения при наличии возмущения
имеет вид первоначальной функции Ферми, только сдвинутой в направлении
поля на величину смещения волнового пакета (в пространстве импульсов) за
время (±_ Функцию распределения нужно определять точнее; в значительной
степени это облегчается наличием вариационного принципа, изложенного,
например, в книге Займана. Оказывается, что функцию распределения можно
найти, минимизируя значение некоторого интеграла. Это позволяет нам
поступать примерно так же, как в случае уравнения Шредингера, при решении
которого можно воспользоваться условием минимальности энергии. При этом
можно ввести пробные функции распределения и минимизировать упомянутый
выше интеграл, варьируя входящие в них параметры. Указанное условие
минимальности тесно связано с термодинамическим принципом максимума
энтропии.
Полная теория учитывает все ,эти обстоятельства; в результате получается
полный расчет электропроводности кристалла при наличии тепловых
колебаний. Такие же рассуждения необходимо провести и в случае рассеяния
электронных волн на примесных атомах, дислокациях и других источниках
рассеяния. Далее возникает задача о совместном рассмотрении двух типов
рассеяния. Таким образом, задача в целом очень сложна, что обусловило
появление множества работ. В конце концов удалось получить значения
электропроводности правильного порядка величины; для щелочных металлов
достигнуто и неплохое количественное согласие с опытом. Более подробное
количественное рассмотрение, однако, составляет еще задачу на будущее.
Упомянутое выше исследование потенциала деформации в РЬТе, возможно, дает
нам пример результатов, которые можно надеяться получить.
§ 4. Эффект Холла
Много лет назад Холл [3] обнаружил, что если проводник с током поместить
в магнитное поле, то поперек проводника перпендикулярно как току, так и
магнитному полю автоматически возникает разность потенциалов. Она
пропорциональна произведению тока на магнитную индукцию. Выражая эту
разность потенциалов через величины, не зависящие от размеров образца, мы
приходим к представлению о поперечном электрическом поле, напряженность
которого пропорциональна магнитной индукции и плотности тока. Постоянная
Холла определяется как от-
5i
Гл. 2. Электропроводность металлов и полупроводников
ношение напряженности поперечного электрического поля к магнитной
индукции и плотности тока Происхождение эффекта Холла можно понять с
помощью простых соображений.
Напомним, что электрон, помещенный в электрическое и магнитное поля,
испытывает действие двух сил. Первая из них пропорциональна заряду
электрона и напряженности электрического поля и направлена вдоль
