Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИИ
91
не претерпит никаких изменений. Однако поля в полупространствах / и /' сделаются теперь совершенно независимыми друг от друга. В результате мы получаем решение сразу двух задач, вполне аналогичных друг другу. Одна из них состоит в следующем.
В полупространстве / по одну сторону от поверхности проводящего тела S находятся точечные заряды qlt q2, ¦ Найти электри-
ческое поле в этом полупространстве. Конечно, это поле векторно складывается из полей зарядов qu qt, ... и зарядов, индуцированных на поверхности тела 5. Однако, в силу теоремы единственности, поле индуцированных зарядов в полупространстве / эквивалентно полю, создаваемому зарядами q[, q'2.... При вычислении искомого
' q} N. Л
7 X % \ / V I , п Л
\
% А / ^ А 1 ?
% V/ л 1 / і /
Рис. 63. Рис. 64.
поля проводящее тело можно убрать и заменить его точечными зарядами^, q'i.....Совокупность этих последних зарядов называется
электрическим изображением зарядов qlt q2, ... в поверхности 5. Таким образом, задача об электрическом поле зарядов, расположенных по одну сторону от проводящей поверхности, сводится к отысканию электрических изображений этих зарядов в этой поверхности.
Приведем два примера на метод электрических изображений.
2. Точечный заряд q над бесконечной плоской поверхностью проводника. Электрическим изображением заряда q в плоскости АВ будет заряд противоположного знака q' = ^q, расположенный по другую сторону плоскости АВ на таком же расстоянии от нее, что и заряд q (рис. 64). Действительно, потенциал поля точечных зарядов q и q' в какой-либо точке С над поверхностью проводника будет
(23Л)
Он обращается в нуль на плоскости АВ, а потому эта плоскость является эквипотенциальной. Формула (23.1) и определяет потенциал поля в верхнем полупространстве I. В нижнем полупростран-
92
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
стве //, заполненном проводящей средой, поле, разумеется, разно нулю. Таким образом, заряд q индуцирует на плоскости АВ такие заряды, которые создают в верхнем полупространстве / такое же поле, что и вспомогательный точечный заряд q' = —q. Отсюда следует, что индуцированные заряды притягивают заряд q с той же силой, что и вспомогательный заряд q' = —q, т. е. с силой F = = q2l(2/i)2, где h — расстояние между зарядом q и плоскостью АВ. Поэтому эта сила называется силой электрического изображения. В нижнем полупространстве // индуцированные заряды компенсируют поле заряда q.
Поверхностная плотность электричества найдется по формуле
Полный индуцированный заряд на бесконечной плоскости 'АВ равен и противоположен по знаку заряду q. В этом легко убедиться
непосредственным интегриро-
вакууме, поле совпадает с полем точечного диполя, а потому обратно пропорционально кубу радиуса. Сама поверхность полусферы возрастает пропорционально квадрату радиуса. Поток вектора Е через нее в пределе г оо обращается в нуль. По теореме Гаусса должен обращаться в нуль и полный заряд, окруженный сферой. Но этот заряд равен q + диид, где qllua — полный индуцированный заряд на плоскости АВ. Значит, <?,шд = —q.
3. Точечный заряд q вблизи проводящей сферы (рис. 65). Допустим, что сфера S радиуса а заземлена, т. е. потенциал ее равен нулю. Величина точечного заряда q и его расстояние до центра сферы R = О А заданы. Этими условиями решение электростатической задачи определяется однозначно. Поле внутри сферы, по теореме Фарадея, равно нулю. Найдем поле вне сферы. Выберем на прямой ОА такую точку С, чтобы треугольник
а =
Простое вычисление дает
JLF —________L
4 л Сп ~ 4 л
1 5q> 4л дп '
(23.2)
ванием выражения (23.2) по плоскости А В. Еще проще воспользоваться теоремой Гаусса. Окружим заряд q и индуцированные заряды бесконечно удаленной сферой с центром в точке О. На полусфере, проходящей внутри проводящей среды, поле и его поток равны нулю. На полусфере, проходящей в
Рис. 65.
МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИИ
93
ОВС был подобен треугольнику ОВА. Поместим в этой точке вспомогательный точечный заряд q'. Если b и Ь' — длины отрезков ВА и ВС, то потенциал зарядов q и q' в точке В будет (qlb -f q'lb'). Он обратится в нуль, если
q' = -Jtq = -°q. (23.3)
Мы видим, что величина q' не зависит от положения точки В на сфере S. Следовательно, потенциал, создаваемый зарядами q и q\ обращается в нуль во всех точках сферы S, т. е. q' является электрическим изображением заряда q в сфере S. Вне сферы на расстояниях у и от зарядов q и q' потенциал определяется выражением
Ф = -? + ?• (23,4)
Общий заряд <7ИНД, индуцированный на сфере S, равен по величине и совпадает по знаку с зарядом q. Для доказательства возьмем произвольную замкнутую поверхность 2, окружающую сферу S, но не окружающую заряд q. На поверхности 2 поле Е совпадает с полем точечных зарядов q и q', из которых q лежит вне 2. Поэтому поток Ф этого поля через поверхность 2 будет Ф == 4nq'. По теореме Гаусса тот же поток равен Ф = 4л^пнд. Следователь-no, *7инд ^ Q •
Если потенциал сферы S равен ф„, то для решения задачи надо ввести еще один фиктивный заряд q0 = аф„, поместив его в центре О сферы 5. Поле во внешнем пространстве представится суперпозицией полей трех зарядов: q, q', q0. Действительно, потенциал зарядов q и q' на сфере S равен нулю. Потенциал на S создается только зарядом qQ, т. е. равен qja = ф0.
