Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (17.2) есть второе из фундаментальных уравнений электростатики, о которых говорилось в § 15.
3. Из уравнения (17.2) следует, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Для доказательства допустим противное. Пусть силовая линия замкнута. Возьмем ее в качестве контура интегрирования С. При обходе этого контура в положительном направлении силовой линии подынтегральное выражение в интеграле ф Eds, а с ним и самый интеграл существенно положительны. Это противоречит уравнению (17.2), что и доказывает наше утверждение.
Невозможны также квазизамкнутые силовые линии потенциального поля. Так мы называем силовые линии, обладающие следующим свойством. Силовая линия, выйдя из любой точки А, извивается и возвращается в сколь угодно малую окрестность той же точки, никогда, однако, не проходя точно через А. Для доказательства опять предположим противное. Пусть А п В — бесконечно близкие точки, через которые проходит силовая линия. Замкнем
Рис. 54.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ потенциал
75
ее бесконечно малым отрезком, соединяющим эти точки. Так как интеграл $Eds вдоль этого отрезка также бесконечно мал, то для циркуляции §Eds вдоль образовавшегося замкнутого контура получилась бы величина, отличная от нуля. А это невозможно.
4. С помощью формулы (17.2) можно строго доказать граинчное условие (14.5) для вектора Е. Пусть ABCD — бесконечно малый прямоугольный контур, стороны'ко- v торого AD и ВС проходят по раз- 8 > --
ные стороны границы раздела двух JL___________._________
сред (рис. 55). Применим к нему 4 / ---------«—
формулу (17.2). Боковые стороны АВ А
и CD возьмем бесконечно короткими Рис. 55.
по сравнению с AD и ВС. Тогда
можно пренебречь вкладом в циркуляцию, вносимым этими сторонами, и написать
ф Eds = (E2t — Elt)l,
ABCD
где і — длина стороны ВС или равной ей стороны AD. Из обращения в нуль этой циркуляции получаем
Еи = Ец. (17.3)
§ 18. Электрический потенциал
1. Для потенциальных полей можно ввести понятие потенциала или, точнее, разности потенциалов. Разностью потенциалов ф! — ф2 между точками 1 и 2 называется работа, совершаемая силами тля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Такое определение имеет смысл потому, что эта работа не зависит от формы пути, а определяется только положениями начальной и конечной точек его. Потенциалу какой-либо произвольной точки поля О можно условно приписать любое значение ф0. Тогда потенциалы всех прочих точек поля определятся однозначно. Если изменить значение ср0, то потенциалы в точке О и во всех других точках изменятся на одну и ту же постоянную. Таким образом, потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как физические явления зависят только от напряженностей электрических полей. Электрические же поля связаны не с абсолютными значениями потенциалов, а с их разностями между различными точками пространства. От значения аддитивной постоянной эти поля не зависят. В теоретической физике за нулевой потенциал удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точки пространства. На практике за нулевой потенциал обычно принимают потенциал Земли.
76
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. С
Работа сил поля при перемещении заряда q по произвольному пути из начальной точки 1 в конечную точку 2 определятся выражением
Au = q( Фі —Фа). (18.1)
В гауссовой и СГСЭ-системах единиц за единицу потенциала принимается разность потенциалов между такими двумя точками, что при перемещении электростатической единицы электричества из одной точки в другую электрическое поле совершает работу, в один эрг. Эта единица не получила специального названия.' Практической единицей потенциала является вольт. Вольт есть разность потенциалов между такими точками, когда при перемещении одного кулона электричества из одной точки в другую электрическое поле совершает работу в один джоуль. Приближенно
1 В = = ЭРГ------= * СГСЭ-ед. потенциала.
1 Кл 3 ¦ 109 СГСЭ-ед. заряда 300
2. Найдем связь потенциала с напряженностью электрического поля. Пусть 1 и 2 — бесконечно близкие точки, расположенные на оси X, так что х2 — xt = dx. Работа при перемещении единицы заряда из точки 1 в точку 2 будет E^dx. Та же работа равна ф! — ф2 =
— —с(ф. Приравнивая оба выражения, получим d<$ = —E^dx. Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z. В результате получаются три соотношения:
Их можно объединить в одну векторную формулу:
Е=-{ж‘+Р+ж*У <1М>
Так как Е есть вектор, то и выражение, стоящее в скобках, есть также вектор. Он называется градиентом скаляра ф и обозначается grad ф, или уф. Его можно рассматривать как произведение символического вектора или оператора (4.6) на скаляр ф. Таким образом, по определению
grad Ф^?ф = ^/ + |?7+ J *• (18-І)
Теперь формулу (18.3) можно записать короче, а именно:
Е = — gradф = — Уф. (18.5)
Произвольное векторное поле Е (х, у, г) характеризуется тремя скалярными функциями — проекциями Ех (х, у, г), Еу (х, у, г), Ег (х, у, г). Потенциальность накладывает на поле столь сильное ограничение, что для его характеристики достаточно одной ска-
