Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
которого закреплен, а другой свободен.
Различные типы собственных колебаний в натянутом шнуре можно наблюдать, если конец М длинного резинового жгута закрепить в стене, а другой конец N взять в руку и привести в колебание (рис. 354). При надлежащей частоте колебаний руки и натяжении жгута удается возбудить основное колебание и несколько его первых гармоник. При этом рука не находится в узле М', а
Д
Рис. 353.
несколько смещена относительно него. Из рис. 354 видно, что отношение OAINP тем больше, чем меньше это смещение. Это значит, что при неизменной амплитуде колебаний руки колебания в жгуте возбудятся тем сильнее, чем ближе точка приложения силы руки к узлу стоячей волны. Бесконечно малой силой можно возбудить колебания конечной амплитуды, если силу приложить бесконечно близко к узлу. Но в этом случае на длине шнура укладывается целое число полуволн, а частота приложенной силы совпадает с одной из собственных частот шнура. Поэтому указанное сильное возбуждение колебаний есть не что иное, как явление резонанса.
3. Все сказанное о стоячих волнах в шнуре и стержнях относится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендикулярными векторами Е и Н. Пусть волна распространяется в
§ 141]
ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ ГЕРЦА
627
положительном направлении оси X и представляется уравнениями
ЕУ = Е0 cos (cot — kx), Hz = H0cos (со/ — kx).
Волну, распространяющуюся в обратном направлении, можно получить отсюда, если изменить знаки у k и одного из векторов Е или Н, например магнитного. Это дает
Еу = Е0 cos (соt + kx), Hz = —Н0 cos (ant + kx).
В результате суперпозиции с предыдущей волной получится
Ех = 2Eq cos kx cos со/, Ну = 2H0 sin sin со/. (140.4)
Это и есть стоячая электромагнитная волна. Она состоит из двух стоячих волн: электрической и магнитной. Мы видим, что колебания электрического поля сдвинуты по фазе относительно колебаний магнитного поля на я/2.
Кроме того, пучности электрического поля совпадают с узлами магнитного поля, а узлы — с пучностями (рис. 355).
Вектор Пойнтинга обращается в нуль в узлах (а следовательно, и в пучностях) как электрического, так и магнитного поля. Поэтому электромагнитная энергия не переходит ни через один из этих узлов. Ее движение ограничено колебаниями между узлом (пучностью) электрического поля и пучностью (узлом) магнитного поля.
§ 141. Поле излучения диполя Герца
1. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является точечный диполь, дипольный момент которого быстро меняется (колеблется) во времени. Такой диполь называется диполем Герца, по имени ученого, впервые рассчитавшего его электромагнитное поле. Задача об излучении диполя Герца в теории излучающих систем имеет особое значение. Дело в том, что всякую реальную излучающую систему — антенну, по которой течет переменный ток, — можно мысленно разложить на элементы тока, каждый из которых излучает, как диполь Герца. Путем суперпозиции электромагнитных полей таких элементов можно получить электромагнитное поле всей излучающей системы. Предпошлем решению задачи о поле излучения диполя Герца несколько вспомогательных математических формул.
628 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. X
2. Рассмотрим функцию f = f (г, t — rlv), где г — расстояние от начала координат, г — радиус-вектор, проведенный из того же начала, v — некоторая постоянная скорость. Введем обозначение Ґ = t — rlv. Частные производные функции / но х при постоянных t и t’ связаны соотношением
д±\ (д^) dxjt [dxjt'^w )г\дх jt'
Отсюда с учетом соотношения (дгідх) = х!г получаем
(dt]=(d!) _x_df_
\dxjt \dxjt' rvdi’
так как по смыслу производных
(д1\ = dt \dt')r dt '
В дальнейшем для сокращения значок t будем опускать, а вместо значка Ґ будем
ставить штрих над знаком производной по координате, если дифференцирование
производится при постоянном Ґ. При таком соглашении
df _ d'f х df dx ~ dx rv dt ‘
Таким образом, операторы d/dx и d'/dx связаны соотношением
d d' х d ,,
Tx~di~VrTt' 041-1)
а операторы V и V' — соотношением
<141-2>
Умножая оператор V сначала скалярно, а затем векторно на векторную функцию А ^г, і---------^, получим
div Л = div' А — (141.3)
rot A = rot' А — ¦ (141.4)
Используя соотношения div г = 3, div (<рА) — <р div А + (A grad ф),
rot г — 0, rot (срА) = ф rot А + [grad ф- А] и предполагая, что вектор g зависит
только от аргумента из формул (141.3) и (141.4) найдем
div ? =
V ГП п ГП+2 vrn-11»
div ter)*... („ \ (fff) (gr)
Гпл 2 (n + ^) n+2 vrml>
(141.5)
rot М. =nini , M. rn rn+2 vrn+11
І0і(ії1ї = Ш
* V-'t n-LO nJ.ll *
r
n+2
3. После этих математических отступлений обратимся к задаче о поле излучения диполя Герца. Будем предполагать, что диполь неподвижен и помещен в однородную среду с диэлектрической
§ И1]
ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ ГЕРЦА
и магнитной проницаемостями е и (.і. Начало координат поместим в точке нахождения диполя. Если бы дипольный момент р был постоянным, то вектор индукции D определялся бы формулой электростатики
Г) - 3 {РГ^ _ Р.
г* г3 '
