Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если по оси абсцисс откладывать время t, а по оси ординат — значение колеблющейся величины q, то получится синусоида (рис.
295). Это — периодическая кривая, значения ее ординат периодически повторяются через период Т0. Амплитуда q0 есть максимальное отклонение величины q от ее нулевого значения.
Ток при электрических колебаниях найдется дифференцированием выражения (123.2):
= <7 = —cofl(7osin (оУ + б),
или
3 = a0q0 cos (®0t + б + — j.
Отсюда видно, что колебания тока & опережают по фазе колебания заряда q на я/2. Электрическая и магнитная энергии определяются выражениями
^ = |j = fi'cos2(COo/ + 6)>
Wm = l2- Ls?2 = Y Lalq2 sin2 (co0i + 6) = sin2 (co0i + 6).
Представим их в виде
We = cos (2co0/ -J- 6),
= ~tc ~ % cos (2“o/ + 6).
552
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1ГЛ. X'
Средние значения этих величин одинаковы н равны
Около этих средних значений величины We и Wm совершают гармонические колебания с круговой частотой Непрерывно происходит переход электрической энергии в магнитную и обратно. Когда электрическая энергия достигает максимума, магнитная обращается в нуль, и наоборот. Полная энергия
остается постоянной, как и должно быть по закону сохранения энергии. Она, как видно из формулы (123.6), пропорциональна квадрату амплитуды. Это справедливо и для механических гармонических колебаний.
3. В заключение точно сформулируем условие квазистационарности, выполнение которого предполагалось при рассмотрении всех колебаний в колебательном контуре. Квазистационарность означает, что > мгновенные значения тока є7 практически одинаковы на всех участках проводов, соединяющих обкладки конденсатора. Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электродинамических взаимодействий можно было считать мгновенным. Такие взаимодействия распространяются со скоростью, которая по порядку величины совпадает со скоростью света в вакууме с. Обозначим через I длину провода, соединяющего обкладки конденсатора (практически эта величина совпадает с длиной провода, из которого изготовлена обмотка катушки самоиндукции). На прохождение длины I электромагнитное возмущение затрачивает время порядка х = l/с. Условие квазистационарностн будет выполнено, если т < Т0 или
1<К (123.7)
где А — длина электромагнитной волны в вакууме:
Полностью ионизованная плазма, состоящая из электронов и положптелыш’л ионов, ограничена двумя параллельными плоскостями (рис. 288). Если все электроны сместить вдоль оси X (выбранной перпендикулярно к этим плоскостям), то возникнет сила, возвращающая их в положение равновесия. В плазме начнутся колебания. Они называются плазменными колебаниями. Определить их характер и собственную частоту. «Тяжелые» ионы можно считать неподвижными.
Решение. Если смещение электрона из положения равновесия равно х, то электрическое поле, возникающее в плазме, будет Е = 4лпех, а сила, дейст-
w=we+wm = %I
(123.6)
Я — сТ о.
(123.8)
ЗАДАЧА
§,J24T
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИИ
553
вующая на электрон, F = —4япе-х. Под действием этой силы электроны будут совершать гармонические колебания с круговой частотой
Учтем теперь тормозящие силы. Полагая в уравнении (122.10) X — 0, получим уравнение свободных колебаний
Формально это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний (123.1). Однако коэффициент соо — у2 может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Надо различать три случая.
Случаи 1. <в§ — у2 > 0. Введем обозначение
Отсюда следует, что величина \ должна совершать незатухающее гармонические колебания с круговой частотой ю:
Кривая q = q (f), представляемая этой формулой (рис. 296), не периодична. Однако величина q периодически проходит через нуль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. В этом смысле процессы, описываемые формулой (124.5), являются колебательными. Они называются затухающими колебаниями. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями величины q через нуль равен л/а. Удвоенное его значение
(123.9)
называемой плазменной частотой.
§ 124. Затухающие колебания
(124.1)
(124.2)
(124.3)
(124.4)
Тогда
і + со25 = 0.
Следовательно,
q = аегУ cos (at + б).
(124.5)
2л 2 л Т а
(124.6)
554
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
называется периодом колебаний, хотя слово «период» здесь не совсем уместно, так как процесс не периодический. Из формулы (124.6) видно, что Т > Т0, т. е. тормозящие силы понижают частоту колебаний и удлиняют их период. Приравнивая нулю производную q,
легко убедиться, что период Т есть также время между двумя
последовательными прохождениями величины q через максимум или минимум. Множитель
A = ae~V, (124.7)
стоящий перед периодической функцией COS (о)( + б) в формуле
(124.5), называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во време-
ни. Время
т = -, (124.8)
по истечении которого амплитуда А убывает в е раз, называется временем затухания. Число полных колебаний, совершаемое за время т, равно
I
N — Т ~ уТ'
(124.9)
Отношение амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимумы или минимумы равно АіІАг = е^т. Логарифм этого отношения
