Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
%dV=do{f%-h),
где ДК — часть объема V, вырезаемого из него поверхностью цилиндра. Пусть
dSi и dS2 — элементарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а Пі и щ — единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда do — — dS2-n2x = -dSi-nlx, а потому
\ дх ^ 1>llx dSi і
av
или, короче,
lmdv~ S
ДУ dSt + dS,
где поверхностный интеграл распространен по сумме площадок dSi и dS«. Весь объем V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим
%dV=§fnxdS. (8.1)
V S
Интеграл слева распространен по всему объему V, справа — по поверхности S, ограничивающей этот объем. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.
Возьмем теперь произвольный вектор А и применим к его компонентам соотношение (8.1). Получим
V S
и аналогично для компонент Ау и Аг. Складывая эти соотношения, найдем
\ (дА± + дф. + dV (Ахпх+Ауп,+ Агпг) dS,
J \ дх ^ ду дг J Л
ИЛИ
div А ¦ dV = § (An)dS. (8.2)
s
Это и есть формула Гаусса =— Остроградского. Ее можно также записать в виде
і 8]
ФОРМУЛА ГАУССА—ОСТРОГРАДСКОГО
ь 2. Если объем V бесконечно мал, то величина div А внутри него может считаться постоянной. Вынося ее за знак интеграла и переходя к пределу V -*¦ О, полупим
diVi4= lim 4-(&(i4d5).
v -+о v J
(8.4);
Предельный переход надо понимать в том смысле,' что область V должна стягиваться в точку, т. е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Наши рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части (8.4), не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому выражение (8.4) можно было бы принять за исходное определение дивергенции, как это часто и делается. Такое определение обладает тем преимуществом, что оно инвариантно, т. е. никак не связано с выбором системы координат.
На формуле (8.4) основан наиболее простфй и общий способ вычисления дивергенции в различных системах координат. Вычислим, например, div А в сферической системе координат г,
О, ф (рис. 27). Рассмотрим бесконечно малый «кубик», ограниченный плоскостями т = const,
0 = const, ф = const. Сумма потоков вектора А через противоположные грани кубика 1 и 2 будет
dA<D =, — А, (г) dSt + Л, (г -Ь dr) dS2 =
= ~(ArdS)dr.
Подставляя сюда dS = rz sin Q dQ dtp, получим
___ Іг'й Д 1 om it rfm fir ¦—¦ —- .
dr
di® = dQr (r2Ar) sin d® dq, dr = J^(r'Ar) dV,
где dV = r2 sin ft dr dft dcp — объем рассматриваемого «кубика». Аналогично ііяходятся потоки через остальные две пары противоположных граней, а затем и выражение для дивергенции:
1 д 1 д 1 dAv.
div А = — (r2Ar) + f sjn-y (sin ¦Є’Лй) + -жг» <8-^.
г2 Or
г sin д дф *
Если вектор А направлен по г и зависит только от расстояния г, то это выражение переходит в (7.4).
Приведем другой пример на применение формулы Гаусса — Остроградского. Согласно (5.5) ф Е dS=4nq, или для бесконечно малого объема <^> EdS=inpV. Подставив это значение в (8.4), получим div Е = 4яр, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме.
ЗАДАЧА
Электрическое поле в электростатике всегда перпендикулярно к поверхности проводника (см. § 11, пункт 4). Пользуясь этим, доказать, что вблизи искривленной поверхности заряженного проводника электрическое поле удовлетворяет соотношению
дЕ с I \ , 1 \
= _?(_ + _], (8.6)
дп
где производная берется по направлению внешней нормали к поверхности проводника, а /?! и R2 — главные радиусы кривизны этой поверхности (они считаются положительными для выпуклых и отрицательными для вогнутых сечений поверхности).
46
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
§ 9. Теорема Ирншоу
1. Для равновесия системы точечных электрических зарядов необходимо и достаточно, чтобы сила, действующая на каждый заряд, обращалась в нуль. Примером, где это условие соблюдается, может служить система двух одинаковых точечных зарядов q и q, посередине между которыми помещен заряд противоположного знака —ql4 (рис. 28). Другие примеры приводятся в задаче к этому параграфу. На вопрос об устойчивости такого равновесия дает ответ теорема Ирншоу. Согласно этой теореме всякая равновесная конфигурация покоящихся точечных электрических зарядов неустойчива, если на них, кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания, никакие другие силы не действуют.
Теорема Ирншоу является следствием теоремы Гаусса. Допустим, что какая-то система неподвижных точечных зарядов находится в устойчивом равновесии. Рассмотрим произвольный заряд q этой системы, находящийся в равновесии в положении А (рис. 29).
Предположим для определенности, что заряд q положителен (в случае отрицательного заряда доказательство аналогично). Если заряд q сместится в бесконечно близкую точку А', то ввиду предположенной устойчивости равновесия должна возникнуть сила, направленная к точке А и стремящаяся вернуть заряд снова в ту же точку. Пусть Е — электрическое поле, создаваемое всеми зарядами, за исключением заряда q. В точке А' оно должно быть направлено к А, каково бы ни было направление смещения АА'. Окружим заряд q произвольной замкнутой поверхностью S и притом такой, чтобы все прочие заряды были расположены во внешнем пространстве по отношению к этой поверхности. На поверхности 5 поле Е направлено к точке А, а потому поток вектора Е через поверхность 5 отрицателен. Но это противоречит теореме Гаусса. Последняя требует, чтобы указанный поток был равен нулю, поскольку он создается зарядами, расположенными вне S. Получившееся противоречие и доказывает теорему Ирншоу.
