Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
, В ? дЕ , _ I дВ
rot— = тт, rott =-----------=57,
11 - Ш;5)
div (єЕ) — 4яр, divZ? = 0.
Если в этих уравнениях изменить знаки у времени t и вектора В, то они перейдут в
т. е. в уравнения, тождественные с исходными уравнениями (83.5). Таким образом, уравнения Максвелла в непроводящих средах не Меняются при одновременном изменении знаков у t и В. То же самое имеет место при одновременном изменении знаков у t и Е.
Возьмем теперь произвольное решение уравнений (83.5):
Ei(t, r) = F(—t, г), BAt, /¦) = — <&(—/, г) (83.8) .
будет также решением тех же уравнений, так как оно удовлетворяет уравнениям (83.6), тождественным с уравнениями (83.5). Заданием во всем пространстве векторов Е и В в начальный (произвольно выбранный) момент времени / = 0 решение системы уравнений
(83.5) :определяется однозначно. Решение (83.7) удовлетворяем
>[ ----- =-----:-----ТГ , Г0Ї ? =-----------------if ,
\ ц у с д (— 0 с д (— /) ’
div (е?) = 4яр, div/? = 0,
(83.6)
E(t, r) = F(t, г), B(t, ґ) — Ф (і, г).
(83.7) ¦
Тогда
362
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
[ГЛ. IV
начальным условиям
Et~o — F(0, г), Bt-о = Ф(0, г),
а решение (83.8) — начальным условиям
Ex<t~o = E(0, г), = — Ф(0, г).
Эти решения, очевидно, связаны соотношениями
Ex{t, r) = E(—t, г), Bx(t, r) = — B(—t, г),
выражающими следующий результат. Если в некоторый момент времени изменить на противоположное направление магнитного вектора во всех точках пространства, то при отсутствии проводящих тел электромагнитное поле повторит свою историю в обратном порядке, с той только разницей, что вектор В в соответствующие моменты времени будет направлен противоположно по сравнению с его направлением в исходном процессе.
§ 84. Энергия и поток энергии
1. Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, выражающими закон сохранения энергии. Пусть среда, в которой возбуждается электромагнитное поле, неподвижна. При изменении электромагнитного поля и прохождении электрического тока в единице объема совершается элементарная внешняя работа
6Апнеш = ±(EdD + HdB) + (JE) dt. (84.1)
Отдельные слагаемые этого выражения были получены в электростатике и в учении о магнитных полях постоянных токов. Отметим
особо, что при получении работы намагничивания ^ HdB была
использована теорема о циркуляции без учета тока смещения. Однако это не обязательно должно отразиться на общности окончательного результата ^HdB, так как и исходное выражение для
элементарной работы (69.1) получено также без учета тока смещения. Поэтому отмеченное обстоятельство не препятствует распространению выражения (84.1) и на случай переменных электромагнитных полей. Выражение (84.1) должно рассматриваться как один из постулатов макроскопической теории электричества.
2. Работа (84.1) идет на приращение внутренней энергии за вычетом тепла, уходящего из единицы объема среды вследствие теплопроводности. От теплопроводности можно отвлечься, предполагая, что она равна нулю. Это не сказывается на общности окончательного результата. Таким образом, если и — внутренняя
§ 84] ЭНЕРГИЯ И ПОТОК ЭНЕРГИИ 363
энергия единицы объема среды, то 6ЛБНСШ = du, или
d^ = ^{ED + HB) + (JE). (84.2)
Под и мы понимаем плотность всей внутренней энергии, а не только электромагнитную часть ее. Поэтому уравнение (84.2) справедливо
для любых сред, в том числе ферромагнитных и сегнетоэлектри-
ческих. Оно учитывает не только джоулево тепло (слагаемое jE), но и тепло ферромагнитного и диэлектрического гистерезиса. Используя уравнения Максвелла (82.1а) и (82.2а), преобразуем правую часть уравнения (84.2) к виду
Е (ш Ь +j) + Ш ИВ = Ш rot Я - Я rot Е),
В силу известного векторного тождества
? rot // — //rot ? = — div [ЕН].
Поэтому, если ввести обозначение
S = ~[EH), (84.3)
то уравнение (84.2) примет вид
% + div S = 0. (84.4)
Для физической интерпретации этого уравнения сравним его с уравнением непрерывности
f + div/=0, (84.5)
в котором р означает плотность вещества или электричества, a j — плотность потока вещества или электрического тока.
Формальная аналогия между уравнениями (84.4) и (84.5) приводит к представлению, что энергия течет в пространстве подобно жидкости, причем вектор 5 играет роль плотности потока электромагнитной энергии. Математически это представление выражается более наглядно и непосредственно, если уравнение (84.4) записать в интегральной форме:
~ jj udV = §SndF, (84.4а)
v
где V — произвольный объем среды, ограниченный замкнутой поверхностью F, а п — внутренняя нормаль к этой поверхности. В такой форме уравнение означает, что приращение внутренней энергии в объеме V происходит за счет электромагнитной энергии, втекающей в этот объем из окружающего пространства через поверхность F,
3G4
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
[ГЛ. IV
Представление о течении энергии сохраняется также при учете теплопроводности и упругих свойств среды, но к плотности потока электромагнитной энергии в этом случае надо добавить плотность потока тепла и плотность упругой энергии.
Общее представление о потоке энергии в пространстве впервые было введено Н. -А. Умовым (1846—1915) в 1874 г. Поэтому вектор плотности потока энергии без конкретизации ее физической природы называется вектором Умова. Конкретные выражения для этого вектора были получены Умовым, естественно, только для упругих сред и вязких жидкостей. Через 11 лет идеи Умова были разработаны Пойнтингом (1852—1914) применительно к электромагнитной энергии. Пойнтингом было получено и выражение (84.3), а потому вектор 5 называется вектором Пойнтинга. Формула (84.4), или (84.4а), выражает закон сохранения энергии в электродинамике и носит название теоремы Умова — Пойнтинга. Отметим замечательную простоту и общность формулы (84.3). Вектор Пойнтинга выражается только через напряженности полей Е и Н и не содержит никаких величин, характеризующих индивидуальные свойства среды, в которой течет электромагнитная энергия.
