Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
3. Состояние первой частицы можно характеризовать значениями 1\ и т\, второй — значениями 12 и т2. Число 1\ определяет квадрат углового момента первой частицы /і(Л + 1), число /2— квадрат такого же момента второй частицы 12{12-\- 1). Числа mi и т2 определяют проекции на ось Z угловых моментов ti и 12 (в единицах Ь). Очевидно, совокупность чисел /ь к, mi, т2
200
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
характеризует некоторое состояние системы обеих независимых частиц. Волновую функцию такого состояния будем обозначать через фОпределим число состояний такого типа, т. е. число линейно независимых функций ф при заданных значениях /і и /2. При заданном 1\ число т\ может принимать (2l\ + 1) значений (см. § 31, пункт 7), при заданном /2 число значений т2 равно (2/2+1). Таким образом, при заданных h и k искомое число состояний с волновыми функциями типа ф равно (2/j + 1 )(2/2 + 1 )¦ Из таких (2l\ + 1)(2/2 + 1) состояний путем их линейных комбинаций можно составить любое состояние системы с заданными 1\ и /2-
Но линейно независимые состояния, из которых может быть составлено любое состояние системы с заданными 1\ и /2, можно выбрать и иначе. Должно оставаться постоянным лишь общее число таких линейно независимых состояний, т. е. это число по-прежнему должно быть равно (21Х + 1)(2/2+ 1). Ввиду справедливости для всей системы правил коммутации (31.6) существуют при заданных 1\ и /2 состояния всей системы с определенными значениями квадрата /(/+1) полного углового момента I и его проекции т на ось Z. Волновые функции таких состояний будем обозначать через Фг,/г/т- Из них путем линейных комбинаций можно составить волновую функцию любого состояния с заданными 1\ и 12. Поэтому число линейно независимых функций типа ij^lWm с заданными U и /2 должно быть равно (2/i + 1) (2/2 + 1).
Убедимся в этом путем прямого вычисления. Из формулы
(32.2) непосредственно следует, что если проекции mi и /п2 имеют определенные значения, то и проекция т также имеет определенное значение т, причем т = т\ + ггс2. Ради определенности будем предполагать, что 1\ > /2. Тогда при заданных lj и k возможные положительные значения т, получаемые таким путем, представятся следующей таблицей:
т, т m
h h h + h
л h — 1 h-1 і h j h + I? — 1
і. h~ 2 )
h — 1 h~ 1 > l\ h — 2
їх — 2 U )
Л -h h — h
Отберем теперь всевозможные состояния (при заданных 1\ и 12), для которых максимальные значения проекции т соответ-
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
201
ственно равны (/і+ /2), (її + l2—1), Эго будут состояния с определенным значением /, равным
I — (h + I2)’ h (12—О........h — І2'
Число таких состояний равно 2/2 + 1. В каждом из этих состояний т может принимать (2/+1) значений. Таким образом, число всевозможных состояний (при заданных h и /2) с линейно независимыми функциями типа будет
2 (/j + /2) + 1 + 2 (Zj -f- /2 — 1) + 1 2 (її — l2) -)- 1.
Это — арифметическая прогрессия с разностью —2 и общим числом членов 2/2 + 1- Ее сумма равна
2 + М.+ .1 +1. (2/2 + 1) = (2l{ + 1) (2/, + 1),
что и требовалось доказать.
4. Полученные результаты относятся не только к сложению угловых моментов двух невзаимодействующих частиц. Они распространяются без всяких изменений и на произвольные сложные системы, состоящие из двух невзаимодействующих частей 1 и 2. Квадраты их угловых моментов (если они имеют определенные значения) определяются выражениями Li(Li+l) и ?-2(^2+ 1)> гДе ^1 и и — целые положительные числа. Соответствующие проекции на ось Z (если таковые также имеют определенные значения) могут принимать значения:
Mi=-Li, -(Z.,-1), +(А-1), +LU
М2 = — L2, — (L2 — 1), •. • , (L2 — 1), L2.
Тогда квадрат результирующего углового момента всей системы может принимать значения L(L-\- 1), где L меняется в пределах
Z, = L] + L2, Li + L2 — 1, . .. , L{ — L2, (32.5)
причем предполагается, что Li > L2. Соответствующие проек-
ции на ось Z могут принимать целочисленные значения от М = —L до М — -\-L. Полученный результат называется правилом сложения угловых моментов.
В полученном состоянии сложной системы имеют определенные значения также скалярные произведения L\L2, LLi и LL2, т. е. собственные значения соответствующих операторов LXL2, LLi и LL2. Это следует из формулы (32.4), если написать ее для операторов L, Lu Ь2. Например,
1{Іг = Ч2\?— — (32.6)
или, переходя к собственным значениям,
L1L2 = l/2[L(L + [)-Lx(Ll+ \)-L2(L2+ 1)J. (32.7)
202
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. V
/ 1
/
Г / Ll / 1‘
я / /
' ' 6)< -— П I. - B)L 2 if
Аналогично
LLi = %[L(L + D + MA+ 1)-L2(L2+ і)], (32.8)
LL2 = 42 [L (L -f 1) + L2(L2+ 1)-L,(L,+ !)]• (32.9)
5. Изложенные результаты принято представлять на векторных диаграммах. Складываемые векторы Li и ?2 изображаются стрелками с длинами и У^г(^2 -f 1), а результи-
рующий вектор L — стрелкой с длиной VL(L-f 1). В качестве
примера на рис. 59 приведена векторная диаграмма для L\ — 2 и L2 = 1 при различных углах между векторами Li и L2. Получается всего три возможных случая, в соответствии с тем, что L мо-(I жет принимать значения + L2 — 3, L\ -f- L2 — 1 — «г;,!, VL:Z ^ l\~z =2 и Lx + L2 — 2= 1. Ta-
