Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
178
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
где D0 и Ео—постоянные, зависящие от рода металла. Ток холодной эмиссии выражается формулой
[i.E) = lJ) = Ле~Е°/?. (29.4)
Именно такая зависимость тока холодной эмиссии от напряженности внешнего приложенного электрического поля была экспериментально подтверждена П. И. Лукирским.
Классическую теорию холодной эмиссии и ее сравнение с опытом см. в задаче к этому параграфу.
ЗАДАЧА
Холодную эмиссию электронов из металла пытались объяснить классически влиянием силы электрического изображения е2/4х, і которой электрон притягивается к поверхности металла (см. т. 111, § 23, пункі 2), С учетом этой силы потенциальная энергия электрона вблизи поверхности металла на расстоянии х от нее представляется выражением U = С — еЕх — е^/Ах. Учет этой силы понижає! потенциальный барьер, который должен преодолеть эле к трон, чтобы выйти из металла, т е уменьшает работу выхода. Рассчитать это уменьшение и оценить напряженность внешнего электрического почя, на чиная с которого должна была бы происходить холодная эмиссия. Провести численный расчет для вольфрама. Работа выхода для вольфрама А = = 4,5 эВ.
Решение. Функция U достигает максимума при .< = 7, л/ejli который равен
Uмакс ^ л/Ев"
Отсюда видно, что сила электрического изображения уменьшает высоту барьера, а с ней и величину работы выхода на величину V,Le>;l Новая работа выхода А' = А — л/Еег Холодная эмиссия начинается, когда А’ = 0 Эго дает
Е = А2/ел = V/e [29.5;
Последнее выражение получается из предыдущего, если работу выхода выра зить через соответствующее напряжение V по формуле А = eV. Для вольфрама V == 4,5 В = 1,5 10-2 СГСЭ,
9 95 • 10" *
Е = - ’ - —пг = 0,469 • 106 СГСЭ = 1,41 • 108 В/см
4,8- 10~ш
Между тем Милликен получал сильные ТОКИ ХОЛОДНОЙ ЭМИССИИ уже при Е Яґ « 4-Ю6 В/см.
ГЛАВА V
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
И СПЕКТРЫ
1. Операторный метод широко распространен в большинстве исследований квантовой механики, а потому необходимо сообщить краткие сведения о нем. Это тем более необходимо для того, чтобы дать законченную форму связи символов квантовой механики с реально наблюдаемыми величинами.
Под оператором понимают символ, который при действии на функцию некоторых переменных дает новую функцию тех же переменных. Примерами такого действия могут служить умножение на х или на какую-либо функцию f(x). Рассматриваемые с этой точки зрения символы х- и ЦХ) являются операторами. Для отличия от чисел их обозначают через х и f(x), т. е. ставят шляпку над х и f(x). Другим примером оператора может служить дифференцирование по х, т. е. • . .
Операторы можно складывать. Под суммой операторов Л+В понимают такой оператор, действие которого на любую функцию f(x) дает результат Af(x) + Bf(x). Под произведением операторов АВ понимают оператор, результат действия которого на любую функцию f(x) равен Д[5[(х)]. Здесь функция f(x) сначала подвергается действию оператора В, а затем на полученный результат действует оператор А. Частным случаем произведения операторов является произведение оператора Л на число %, т. е. либо %А, либо А.%, ибо всякое число можно рассматривать как частный случай оператора. В алгебре операторов не всегда соблюдается коммутативный закон относительно умножения. Это значит, что не всегда АВ — ВА. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы А и В коммутируют друг с другом. Иначе их называют коммутирующими операторами. В противном случае операторы А и В не коммутируют и называются некоммутирующими или антикоммутирующими. Примером некоммутирующих операторов могут служить умножение на х и дифференцирование по х. Действительно,
• •
§ 30. Операторный метод
так что
(30.1)
180
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. V
Эти определения позволяют по заданным операторам А и В строить другие операторы С (А, В), являющие'ся их функциями. Определение это имеет смысл только для целых рациональных функций операторов А и В, Достаточность такого ограничения в этом построении связана с тем, что именно при таком ограничении в классической физике определяют новые физические величины через другие, ранее введенные физические величины.
Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Единственное отличие состоит в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок сомножителей. Например, всегда
{А + в)2 = (А + в) (А + в) = А2+ва + Ав + В2.
В общем виде было бы неправильно писать
(А + Б)2 = А2 + 2 АВ + В2.
Такая формула верна только тогда, когда операторы А и В коммутируют между собой, ибо при ВА = АВ она получается из предыдущей. Но в случае некоммутирующих операторов эта формула неверна, ибо в этом случае ВА^АВ.
Оператор А называется линейным, если для любых двух функций / и ф и любых постоянных К и |д соблюдается соотношение
A (Xf р-ф) AAf —
В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушался бы принцип суперпозиции состояний.
2. Предположим теперь, что многократно производится измерение координаты х частицы, причем частица, поскольку это позволяет опыт, всякий раз приводится в одинаковые макроскопические условия. Тогда состояние частицы в этих опытах можно характеризовать волновой функцией 'Р(х), которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты *. Среднее значение координаты, которое будет найдено в результате измерений, можно записать в виде
