Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
^ | гр |2 dx=\ (для разбираемого нами вопроса это не имеет
— а
значения). Тогда получается
¦Ф =
ппх
cos----- при нечетных п,
^а 20 (24.3)
1 . ппх
—— sin------- при четных п.
V а 2 а
В обоих случаях k — пл/2а, так что при любом целом п
Отсюда видно, что энергия квантуется. Энергетические уровни дискретны, при Uо = +оо число их бесконечно велико. Так как значение гс=0 исключается, то энергия наинизшего уровня равна hn2/ (&та2). Это — нулевая энергия, необходимость которой следует из общих положений.
Против приведенного решения можно выдвинуть следующее возражение. На всякой поверхности разрыва потенциальной функции U(х) должны выполняться граничные условия
гр,(дс-0) = гр2(дс + 0), (24’5)
где грі (л:)—функция гр (jc) по одну сторону поверхности разрыва, а гр2(л:) — по другую (см. § 22, пункт 1). В нашем случае внутри интервала —а < х < +а гр = грі дается выражениями
(24.3), а вне этого интервала грн=гр2 = 0. Первое условие
(24.5) выполняется, тогда как второе не выполняется. Таким образом, на стенках потенциальной ямы первая производная найденной нами функции гр(х) претерпевает разрыв непрерывности. Однако это противоречие с общими требованиями, которым должна удовлетворять функция гр(х), является только кажущимся и возникает в результате математического перехода к пределу. Во всяком реальном случае глубина ямы Uо конечна, хотя и может быть очень большой. В этом случае вблизи стенки по обе стороны от нее гр(х) и dty/dx, вообще говоря, отличны от нуля, и условия (24.5) строго выполняются. Но при переходе к пределу бесконечно глубокой ямы они могут и не выполняться для предельных значений этих величин. Действительно, из соотношений (24.5) не следует, что должны выполняться
150
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
и предельные соотношения
lim т]?! (х — 0) = lim (jc + 0),
lim ф, (а: — 0) = lim ф2 (х + 0).
Это на самом деле и происходит с производными функции ^(x). Найденное нами решение относится не к реальной функции г|)(х) при очень большом значении U0, а к ее предельному значению при Uo оо.
На этом примере с особой отчетливостью проявляется отмеченная выше аналогия между задачей о квантовании энергии и задачей о колебании струны с закрепленными концами. Действительно, в случае прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной ямы обе задачи математически тождественны.
3. Рассмотрим теперь случай симметричной прямоугольной ямы конечной глубины (рис. 44). Потенциальную функцию
U(х) вне ямы примем равной нулю. Внутри ямы U(x)— U0 < 0. За начало координат возьмем центр дна ямы О. Исследуем сначала случай, когда полная энергия S отрицательна, причем U0 < <8 <0. Введем обозначения
k = + У2m (S - U0)/h\ а = + л/- 2m&/h2. (24.6)
Тогда уравнение Шредингера внутри ямы будет
0-+^ = О, (24.7)
а вне ямы
-0-а2ф = О. (24.8)
Общее решение уравнения (24.7) имеет вид
ф == A cos kx + В sin kx. (24.9)
Решением уравнения (24.8) является е±ах. Здесь надо выбрать такой знак, чтобы решение обращалось в нуль при х= ±оо. Таким образом, вне ямы должно быть
¦ф = Ce_ctjc при х > а,
о|-> — Deax при х < — а.
Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности |г|5|2 должна быть симметричной функцией х относительно начала координат. Следовательно, должно быть С2 = D2, т. е. возможны два случая: С = D и С = —D. Постоянные А, В, С, D надо выбрать так, чтобы на краях ямы функция г|э и ее производная dty/dx были непрерывны. На границе х = +а это дает
A cos ka + В sin ka = Се~ао,
— kA sin ka + kB cos ka — — aCe~aa,
§ 24] ОДНОМЕРНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ
15]
а на границе х - —а
A cos ka — В iin ka — De~'ia, kA sin ka + kB cos ka — aDe~aa.
Отсюда
2A cos ka = (C + D)e~aa, ' 28 sin ka — (C — D) e~aa,
2kA sin ka = a (C + D) e~aa, \ 2kB cos ka — — a (C — D) e~aa. Если Л ф 0 и С = D, то
/ztg/za = a. (24.10)
Если же В ф 0 и С — —D, то
kcigk а = — а. (24.11)
Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно, так как в противном случае получилось бы k2 = —а2, а это невозможно ввиду вещественности k и а. Решение, когда все коэффициенты А, В, С, D равны нулю, физического смысла не имеет.
Таким образом, все возможные решения разделяются на два
класса: решения с четной волновой функцией, когда АфО, В — О, С = D, и решения с нечетной волновой функцией, когда /4 = 0, ВфО, С — —D.
Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения уравнения (24.10) или уравнения (24.11), в которых положительные величины k и а определяются выражениями
(24.6). Для графического решения введем безразмерные величины
l — ak, г] = аа. (24.12)
Тогда
+ П2 = - 2mU^lh2, (24.13)
причем для решений с четной волновой функцией из (24.10) следует
Т1 = ё tg 6. (24.10а)
а для решений с нечетной волновой функцией из (24.11) получаем
¦4 = —Sctgg. (24.11а)
На рис. 46, а построены кривые г| = g tg g, на рис. 46,6 — кривые т| = —|ctg|. Вертикальными пунктирными линиями изображены асимптоты этих кривых. Ввиду положительности \ и т| нужны только участки кривых, расположенные в положительном квадранте (| > 0, т]>0). Пересечем эти кривые окружностью (24.13), радиус которой ¦\J—2mil(jalh должен считаться известным, поскольку известны величины U0 и а. Координаты точек пересечения этой окружности с кривыми
