Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Принципиально можно было бы поступить так, как это уже было намечено в г. III, § 100. Возьмем очень большое число тождественных атомов, удаленных друг от друга настолько далеко, что взаимодействие между ними очень мало и практически ни в чем не проявляется. В таком случае каждый из атомов ведет себя как изолированный. Ему свойственны определенные энергетические уровни. Система из N удаленных атомов будет иметь те же уровни энергии, но каждый уровень повторится N раз. Начнем теперь непрерывно сближать атомы. Появится взаимодействие между ними, в результате чего каждый первоначальный энергетический уровень станет как-то непрерывно смещаться. В конце концов из большого числа N атомов образуется кристалл. Проследив за эволюцией отдельных энергетических уровней, можно определить и энергетические уровни образовавшегося кристалла.
Конечно, при большом числе /V атомов провести эту программу практически невозможно. Но это можно сделать для случая двух атомов. Полученные результаты можно будет использовать для выяснения вопроса, как качественно будет вести себя и система из большого числа атомов. Более того, для дальнейшего упрощения можно заменить реальный атом мысленным «одномерным агомом», проще всего — гармоническим осциллятором. Это фактически уже было сделано в § 52 при выяснении природы молекулярных сил (см. также т. III, § 137). Повторим
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
367
еще раз полученные там результаты в форме, приспособленной для целей настоящего параграфа.
2. Пока осцилляторы раздвинуты достаточно далеко, гамильтониан системы обоих осцилляторов, если сохранять обозначения § 52, представится в виде
Осцилляторы ведут себя независимо друг от друга.' Энергия каждого из них квантуется и равна ha>o(n-\- 1/2). Энергия системы в целом равна сумме энергий обоих осцилляторов. Ввиду тождественности осцилляторов одна и та же энергия 18 системы может быть представлена двумя способами: либо как<§Г = <$\ + + либо как <8 = <8\ + <8\1. В первом случае осциллятор I имеет энергию <8\, осциллятор II — энергию <§2- Во втором случае полная энергия $ та же, но энергией <8 \ обладает осциллятор II, а энергией <82 — осциллятор I. Это значит, что энергетический уровень <8 системы осцилляторов двукратно вырожден. При сближении осцилляторов в гамильтониане системы
появляется член —Кх\х,2, учитывающий взаимодействие между ними. Чтобы выяснить влияние этого члена, проще всего ввести нормальные координаты
Вид гамильтониана (58.5) показывает, что в нормальных координатах q\ и q2 система совершает два независимых коллективных колебания с частотами юі и ю2. Можно сказать и иначе. Введение нормальных координат формально соответствует переходу к описанию движения системы осцилляторов посредством двух квазичастиц, гармонически колеблющихся с частотами «і и ш2. Движение каждой квазичастицы описывает не движение отдельного осциллятора, а обоих осцилляторов вместе. Общее движение всей системы складывается из наложения движений обеих квазичастиц. Энергия первой квазичастицы представляется выражением Ни>\(п\-\- 1/2), второй Йсо2(л2+ 1/2),
Я = Н{ + Я2,
(58.1)
где
Я — Я] -J- Я2 — ’КХ\Х2
(58.3)
<7i = (*i + х2)/л/2, q2 = (xl — х2Ул/2. Тогда гамильтониан системы преобразуется в
(58.4)
(58.5)
где
«2 = (1)2 — Я/Ц, (02 = (Од -|- Х/ц.
(58.6)
368
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
причем оба эти уровня не вырождены. Таким образом, в результате взаимодействия происходит расщепление двукратно вырожденного энергетического уровня на два уровня с частотами 0)! и о)2. Общее число уровней остается неизменным.
Все это можно было бы повторить без существенных затруднений для системы какого угодно числа тождественных гармонических осцилляторов. Задача сводится к введению нормальных координат, в которых кинетическая и потенциальная энергии системы одновременно приводятся к суммам квадратов. Такая процедура давно разработана в линейной алгебре и широко применяется, например, в теории малых колебаний колебательных систем со многими степенями свободы. Вся система по-прежнему формально сводится к совокупности независимых квазичастиц (гармонических осцилляторов) с различными собственными частотами. Первоначально вырожденный уровень энергии расщепляется на несколько уровней, причем общее количество уровней при сближении удаленных осцилляторов остается неизменным.
3. Теперь можно вернуться к вопросу, поставленному в начале этого параграфа: что следует ожидать при сближении тождественных бесконечно удаленных атомов, если число их N невообразимо велико? В исходном положении взаимодействия между атомами нет. Поэтому кратность вырождения каждого энергетического уровня системы громадного числа атомов чудовищно велика. Сближение атомов включает взаимодействие между ними, и вырождение снимается. По аналогии с системой осцилляторов следует ожидать, что энергетические уровни системы атомов начинают расщепляться. В конечном положении, когда из атомов образуется кристалл, первоначально вырожденный энергетический уровень расщепляется на громадное число уровней. Вместо одного вырожденного уровня возникает громадное количество их, образующих полосу или энергетическую зону.
