Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
царапин Ii не превосходила ширины крайней френелевой зоны:
h = ~k —~г~г = 180^ = 0,1 мм. D а + Ь
2. Оценить максимальные угловые размеры а предмета, который можно сфотографировать с помощью непрозрачного диска с идеально гладкими краями.
Решение. При смещении точечного объекта в сторону с главной оптической оси диск представится эллипсом. Малая полуось эллипса будет отличаться
от радиуса диска на г — cos-^-j. Это отличие не должно превышать ширины
крайней френелевой зоны. Из этого условия для максимально допустимых угловых размеров предмета находим
4-і / Xab . ' tn,
где использованы обозначения и численные данные из предыдущей задачи.
3. Зонная пластинка применяется для фотографирования предмета, который виден из места нахождения пластинки под углом а = 0,1 рад. Оценить оптимальное число зон пластинки для получения наибольшей яркости и отчетливости изображения. рИСі JQ2
Решение. Допустим сначала, что источник света S точечный, а зонная пластинка CD наклонена к оптической оси под углом (я— а)/2 (рис. 162). Из
рисунка видно: х2 = a2 + Ri + 2aR sin и аналогично для у. Извлекая квадратные корни и пренебрегая всеми степенями радиуса R, начиная с третьей, получим для разности хода между лучами SCP и SOP:
л , , < / , м Rcos2 (а/2) I 1 , 1
или A = A0 — 8Д. Здесь A0 — значение А при отсутствии наклона зонной пластинки, а бД — приращение величины А, обусловленное наклоном:
бд = д„ (1 -Cosa -J-) = a0 sin2 -J-^l aoa2.
Если бД Xt то наклон пластинки не скажется существенно на работе зон, расположенных в пределах круга радиуса R. Если же бД ~ Я/2, то все зоны, расположенные выше этого круга, становятся бесполезными и даже вредными. Из этого условия находится предельное значение разности хода; A0 2К/аг, Соответствующее число зон Френеля будет
До 4 276
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
Допустим теперь, что фотографируемый предмет не точечный, причем его центр расположен на оси зонной пластинки. Для периферийных точек предмета, не лежащих на оси пластинки, последняя действует как наклоненная под углом а/2. Поэтому предельное число зон Френеля, при котором должно получиться наиболее отчетливое изображение, будет
N ~ 4/а2 ~ 400.
§ 41. Метод Френеля решения дифракционных задач.
Дифракция Фраунгофера и Френеля
1. Принципа Гюйгенса еще недостаточно для решения дифракционных задач, если даже пользоваться точной формулировкой его, данной Кирхгофом (см. § 43). Этот принцип сводит только любую дифракционную задачу к определению волнового поля на произвольной замкнутой поверхности F, окружающей все источники света (рис. 150). Но точное определение поля на поверхности F возможно лишь после нахождения его во всем пространстве. Эту трудность Френель преодолел введением специальной гипотезы, которой мы, в сущности, уже пользовались в предыдущем параграфе. Сформулируем ее на примере непрозрачного плоского экрана с отверстиями, поставленного на пути распространяющейся волны.
Выберем в качестве вспомогательной поверхности F заднюю (т. е. неосвещаемую) сторону экрана. Примем, что на всех участках этой поверхности, которые прикрыты экраном, волновое поле равно нулю, а на отверстиях определяется приближенными законами геометрической оптики, т. е. такое, какое получилось бы в отсутствие экрана. Тем самым интегрирование в (39.1) распространяется только на отверстия, где волновое поле считается известным. Отметим недостатки введенной гипотезы.
1) Распространение гипотезы на неплоские экраны неоднозначно, так как в этом случае неясно, как провести вспомогательную поверхность через отверстия экрана.
2) Гипотеза противоречива. Если с помощью принципа Гюйгенса вычислить волновое поле во всем пространстве, то на поверхности F оно не совпадает с исходным полем, принятым при вычислении. На задних сторонах экранов вычисленное поле не обратится в нуль, а на отверстиях не будет совпадать с полем свободно распространяющейся волны.
3) Гипотеза допускает разрыв волнового поля на краях отверстий, что противоречит граничным условиям электродинамики Максвелла.
4) Гипотеза противоречит поперечности световых волн. Это противоречие не устраняется заменой скалярных колебаний векторными. Колебания, как и при изучении явлений интерференции, мы считали скалярными лишь ради простоты. При переходе к векторным колебаниям математическая формулировка принципа Гюйгенса и полученные из него результаты по существу не изменятся. Как ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА И ФРЕНЕЛЯ
277
строго показал Кирхгоф, для этого достаточно только скаляр E всюду заменить вектором Е.
Допустим теперь, что на непрозрачный экран с отверстием нормально падает плоская линейно поляризованная электромагнитная волна. На вспомогательной поверхности F вектор E будет иметь одно и то же направление, параллельное плоскости экрана. Принцип Гюйгенса сводит задачу о дифракции к суперпозиции коллинеарных векторных колебаний того же направления. Поэтому следует ожидать, что в дифрагированной волне вектор E всюду будет параллелен плоскости экрана. Это будет так и вдали от экрана, где дифрагированные волны разных направлений расходятся и перестают накладываться друг на друга. Так будет и в волне, дифрагировавшей косо к плоскости экрана. Но в действительности вектор E перпендикулярен к дифрагирующим лучам и образует с вычисленным направлением угол, равный «углу дифракции» 1O (рис. 163).
