Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
7. В заключение отметим еще один момент. Молекулы воздуха в земной атмосфере движутся вверх с уменьшающимися скоростями, а движущиеся вниз увеличивают свои скорости под действием силы тяжести. Отсюда делали неправильный вывод, что средние скорости молекул наверху, а с ними и температура воздуха должны быть меньше, чем внизу. Но этот парадоксальный вывод находится в противоречии с термодинамикой. Парадокс был разъяснен уже самим Максвеллом. Суть дела заключается в том, что при движении вверх молекулы действительно замедляются, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из пучка. При движении вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются, но одновременно пучок пополняется более медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменней. Сила тяжести, как уже отмечалось в пункте 3, меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа. И закон изменения этой концентрации как раз и выводится из требования, чтобы температура оставалась одной и той же на всех высотах. Следующее сравнение, принадлежащее Г. А. Лоренцу (1853—1928), может служить для разъяснения
280
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
вопроса. Пусть имеются два города А н В, причем числу жителей определенного возраста города А соответствует удвоенное число жителей того же возраста города В. Ясно, что средний возраст жителей в обоих городах будет один и тот же.
ЗАДАЧИ
1. Теплоизолированный сосуд с идеальным газом подвешен на нити в поле тяжести. Из-за действия силы тяжести плотность газа внизу сосуда больше, чем наверху. Нить пережигают, и сосуд свободно падает. Предполагая, что во время падения успевает установиться термодинамическое равновесие, определить равновесную температуру газа, которая в нем установится при падении.
Реше н и е. Температура газа не изменится. При свободном падении газ находится в состоянии невесомости. Начальное состояние его неравновесное — плотность вверху меньше, чем внизу. Однако средняя кинетическая энергия молекул всюду одинакова. При переходе в равновесное состояние плотности выравняются. Но полная кинетическая энергия молекул газа, определяющая его температуру, останется неизменной. Опыт аналогичен известному опыту Гей-Люссака с расширением газа в пустоту (см. § 19).
2. Найти среднюю потенциальную энергию 'ер) молекулы газа в земной атмосфере, считая последнюю изотермической (с температурой Т), а поле тяжести однородным. Вычислить теплоемкость газа с при этих условиях.
Ответ. \Sp\-kT, с —Ср.
3. Теплоизолированный герметический цилиндрический сосуд высоты Н, наполненный газом, подвешен в вертикальном положении в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде одинакова и равна Т. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы газа <
mgH
г \ V I
Ответ. (вр>= mgH ПІ *
1-Г kT
4. В цилиндре предыдущей задачи помещен моль идеального газа с молекулярным весом ц. Найти теплоемкость этого газа, учитывая влияние поля тяжести и предполагая, что [igH -< RT.
Г. Г Г JUR I2
Ответ. c--=cv+i2[~rTj ¦
5. Цилиндр радиуса R и длины Н. наполненный химически однородным газом, равномерно вращается в однородном поле тяжести вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью ы. Найти распределение концентрации молекул газа внутри цилиндра, если его ось направлена вертикально.
О т в с т. Число молекул dN с координатами между г и г + dr, г и г + dz
Ng , „ і
dN_________________\1L1___________e Ж rdr-e kT dz
равно (пш-г
N*\kt)
'/ тКН\ / moW \
где N — общее число молекул в сосуде. Ось Z направлена вертикально вверх.
§ 78. Работы Перрена по определению числа Авогадро
1. В § 64 уже говорилось о работах Перрена по определению числа Авогадро N и проверке основных положений молекулярнокинетической теории вещества путем наблюдения поступательного
§ 78] РАБОТЫ ПЕРРЕНА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА АВОГАДРО
281
броуновского движения. Перрену же принадлежит другой метод измерения числа N, по существу также использующий броуновское движение. Этот второй метод основан на законе распределения Больцмана (77.3). В поле тяжести этот закон принимает вид
mgz
Я=-ЯвÑà <78Л>
Если бы была известна масса молекулы т, то измеряя распределение плотности газа по высоте, можно было бы по формуле
(78.1) вычислить постоянную Больцмана k, а затем и число Аво-гадро N -- Rik. Но измерить массу молекулы не менее трудно, чем постоянную к. Эту трудность можно преодолеть, если заметить, что роль молекул могут играть достаточно малые, но макроскопические частицы. В поле тяжести такие гигантские «макромолекулы» не могут все лежать на дне сосуда. Они должны совершать броуновское движение и вести себя подобно идеальному газу с очень большим молекулярным весом, концентрация которого распределена по высоте согласно формуле Больцмана. «Макромолекулы» должны быть очень велики, чтобы экспериментально можно было измерить их массу. Но в таком случае их концентрация с высотой будет убывать настолько быстро, что получится состояние, практически не отличимое от того, когда все «макромолекулы» лежат на дне сосуда. Перрен нашел способ преодоления и этой трудности. Надо поместить частицы-макромолекулы в жидкость, плотность которой немного меньше плотности вещества самих частиц. Тогда поле тяжести будет сильно ослаблено архимедовой подъемной силой и возникнет «атмосфера» из макромолекул, распределение концентрации в которой может быть измерено. В установившемся состоянии концентрация частиц определяется законом Больцмана (77.3). При вычислении потенциальной энергии надо учесть, что поднятие частицы сопровождается опусканием такого же объема жидкости. Величина ер в рассматриваемом случае равна потенциальной энергии частицы в поле тяжести mgz за вычетом потенциальной энергии жидкости mxgz, которую она вытесняет, т. е. Ер = (т — тж) gz, где т — масса частицы, а тш — масса вытесненной ею жидкости. Таким образом,
