Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы
рассматриваем все точки пространства E2N + 2, как заданные бесконечно
малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному
бесконечно малому значению dw. Однако из групповых свойств КП следует,
что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и,
следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки
пространства E2N + 2 вдоль лучей или траекторий с общим значением
конечного приращения Aw для всех их, то тогда результирующее
преобразование пространства E2N+2 в себя будет конечным КП. Покажем
теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП
(предполагается, что канонические уравнения движения интегрируемы).
Для произвольной кривой С в пространстве QTPH, вдоль которой задан
монотонный параметр и, интеграл
G = ^ {yr dxr - ?2 (х ,у) du) (90.5)
§ 90]
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
309
имеет смысл. Полная вариация этого интеграла дает
Попытаемся отыскать те кривые С, для которых бG = 0, если на вариацию
кривой наложены только следующие условия:
1) концевые значения х*, хг постоянны,
2) приращение Ди параметра и вдоль кривой постоянно.
Мы можем положить в (90.6) Ьи = 0; тогда получим
Поэтому искомые кривые удовлетворяют уравнениям
Это означает, что такие кривые являются лучами или траекториями, а также,
что параметр и на любой из этих кривых есть специальный параметр (и = w).
Более того, из природы вариационного принципа, приведенного здесь,
следует, что 2N + 3 величин х*, х, Aw, выбранные произвольно, определяют
значение интеграла
G (х*, х, Aw) = ^ {уг dxr - ?2 (х, у) dw}, (90.9)
вычисленного вдоль луча или траектории (рис. 42).
Задавая произвольные вариации 2N + 3 величинам (х*, х, Aw), получаем из
(90.6)
бG = [yr 6хг - Q 6и] +
+ ^ (буг dxr - 6хг dyT - б ?2 du + dQ б и). (90.6)
б G= dyr - +буг^
(90.7)
dxr _ d?2 dyT _ d?2
du dyT ' du dxT
(90.8)
dG
dG
*
(90.10)
- Уг.
а также
= - ?2 (x, y) = - ?2 (*, y). (90.11,
dAw
310 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. У
Вдоль луча или траектории ?2 = const, согласно уравнениям (90.8). Мы
видим, что (90.10) совпадает с КП (88.20с) и, следовательно, заключаем,
что для любого заданного значения Aw функция G (х*, х, Aw), полученная
интегрированием вдоль лучей или траекторий, является производящей
функцией конечного КП, g которое преобразует пространство
QTPH в себя. В самом деле, мы имеем
' однопараметрическое семейство КП
с параметром Aw.
Предполагая, что канонические уравнения (90.8) проинтегрированы, можно
построить производящую функцию следующим образом:
I) Берем в пространстве QTPH произвольную точку В* с координатами х*, у*.
II) Через точку В* проводим луч или траекторию С, удовлетворяющую
уравнениям' (90.8), и продолжаем ее до тех пор, пока ее специальный
параметр w не возрастет на заданную величину Aw.
Пусть В (х, у) - точка, полученная таким образом. Тогда
имеем функциональные соотношения
хТ = хг (/, у, Aw), у, = уг {х, у, Aw). (90.12)
III) Решаем первую систему этих уравнений, получая при этом
Уг = Уг (я*, х, Aw). (90.13)
IV) Вычисляем интеграл (90.9) от В* до В по кривой С, причем (х, у) -
функции (х*, у*, Aw) вида (90.12); таким образом, G оказывается функцией
(х*, у*, Aw).
V) Подставляем в (90.5) значения у* (90.13), чтобы получить G (х*, х,
Aw).
Формулами (88.8) установлена инвариантность циркуляции действия
относительно КП. Этот результат допускает двойную интерпретацию согласно
тому способу, каким мы рассматриваем КП. В случае уравнений (88.8) это,
как мы видели, было вопросом изменения "этикеток"
{х*,0
Рис. 42. Построение производящей функции G(x*, х, Aw) в QTPH.
90]
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
311
неподвижных точек. Чтобы получить другую точку зрения, проще всего начать
все рассуждения снова.
Рис. 43 показывает контур С в пространстве QTPH и трубку, содержащую С;
эта трубка состоит из лучей или траекторий (часть естественной
конгруэнции). Удобно сохранить обозначение d для смещения вдоль
естественной конгруэнции, чтобы были справедливы уравнения
dxr = dw.
dyr =
дуг
, dQ dw. - . дхг'
- 90.14)
Для обозначения перемещений вдоль контура С мы будем употреблять знак б,
так что циркуляция по С равна
ственной конгруэнции в QTPH.
Если переместить С в положение Сi вдоль естественной конгруэнции, то
получим уравнение
х (Ci) - х (С) = du (С) =
ф уг Ьхг = ф (dyr Ьхг
= d
dxr6yr) (90.16)
или, согласно (90.14),
du (С) = - <^) dw 6Q,
(90.17)
бесконечно
где переменная интегрирования Q, a dw малый скаляр, заданный вдоль С.
Если dw = const, то для стягиваемого в точку контура получаем
dy, (С) - - dw б Q = 0.
(90.18)
3S2
ВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
Таким образом, циркуляция действия по стягиваемому в точку контуру
остается неизменной при смещении этого контура вдоль естественной
конгруэнции на фиксированное бесконечно малое приращение специального
параметра, а следовательно, также и на фиксированное конечное приращение.
