Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндра - двусвязна; поверхность тора трехсвязна.
Если для цилиндра мы введем азимутальный угол ф как циклическую
координату и отложим z вдоль обра-
!) В пространстве Q мы могли бы требовать гладкость класса С2: 32<7р/5<7р
ддх - непрерывны. В пространствах QP или QTPH мы могли бы требовать
каноническое преобразование (§ 87).
2) Потому что тогда имеется два существенно различных пути перехода от
одной точки к другой.
3) Тем не менее, для частицы, движущейся по сфере, не существует системы
координат с непрерывным взаимно однозначным соответствием с точками Q.
Общепринятый способ - ввести азимутальный угол ф как циклическую
координату и исключить полюсы ¦О = 0 и д = л.
208 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Г'
О
2л
4л
зующей, то стягиваемым в точку контуром будет контур вида Г на рис. 31;
нестягиваемым будет контур вида Г'1).
Движение по контуру, который можно стянуть в точку, называется либрацией,
движение по неприводимому кон-туру называется вращением.
Конфигурационное пространство для твердого тела, движущегося в обычном
пространстве, шестимерное. Пусть
(?, Л. О - прямоугольные декартовы координаты опорной точки, выбранной в
теле. Конфигурационное пространство свободного тела есть произведение
двух трехмерных пространств. В первом из них координатами явля-_ ются (?,
Г), ?) и оно 9 имеет топологию евклидова пространства. Точка во втором
пространстве соответствует конфигурации твердого тела, имеющего одну
неподвижную точку. Это второе пространство есть пространство вращений.
Обычный путь рассмотрения пространства вращений в динамике это - ввести
углы Эйлера Ф, ф, ф (§ 11), рассматривая ф и ф как циклические
координаты, так что имеем пространство Q', в котором конгруэнтные точки в
углах бесконечного ряда кубов со сторонами 2л соответствуют одной и той
же конфигурации (если рассматривать при этом ф и ф как прямоугольные
декартовы координаты).
Конфигурации, для которых Ф чаются из этого представления.
Имеется другой путь для рассмотрения пространства вращений. Согласно § 10
точки этого пространства нахо-
Рис. 31. Пространство Q' для частицы, движущейся по цилиндру (ф-
циклическая координата); Г - приводимый контур, а Г' - неприводимый.
0 и # = Я, исклю-
х) Здесь представлены только простейшие случаи; стягиваемый и
нестягиваемый контуры могут быть значительно сложнее.
Топологические замечания
209
дятся в непрерывном взаимно однозначном соответствии с парами
диаметрально противоположных точек на гиперсфере в четырехмерном
евклидовом пространстве; гиперсфера имеет следующее уравнение:
% + }х 4-v 4- g =1. (63.6)
Таким образом, топология пространства Q для твердого тела, одна точка
которого закреплена, такова же, как топология гиперсферы эллиптического
типа, диаметрально противоположные точки которой "отождествлены" одна с
другой (конгруэнтные точки). Это пространство - двухсвязное; неприводимый
контур соответствует полному вращению тела вокруг какой-нибудь оси.
Кратко изложить динамику, с должным углублением в топологию, практически
невозможно; сделанные выше замечания имеют целью только ввести читателя в
круг связанных с этой проблемой вопросов1).
До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства
изображений ("динамика в малом"), топологические вопросы не возникают, и
мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию
внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга
следует в основном традициям математической физики, в которой
топологические вопросы являются предметом для исследования ad hoc в
частных случаях. Они могут быть оставлены без внимания до тех пор, пока
мы не перейдем к рассмотрению переменных действие - угол (§ 98, 99).
1) В обширной литературе по современной топологии трудно найти какое-
нибудь исследование, в котором бы физический интерес не был сильно
затемнен строгостью изложения, необходимой в чистой математике. Живое
введение в топологию см. в кпиге К у-рант Р. иРоббинс Г., Что такое
математика?, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947.
14 Дж. л. Синг
ГЛАВА II
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
§ 64. Однородный лагранжиан А (ж, х') и обыкновенный лагранжиан L(q, t,
q). Рассмотрим iV + 1-мерное пространство событий QT с координатами qlf
..., qN, t. Ради удобства обозначений, а также имея в виду приложения к
теории относительности,- положим
qp = хр, t = xN+u (64.1)
так что координатами в пространстве QT являются хт (см. обозначения §
62).
Пусть Г - какая-нибудь кривая в пространстве QT, уравнения которой имеют
вид
хт - хт (и). (64.2)
Мы предполагаем, что эти функции гладкие (класс С2) и что все производные
dxT
Хг = Ж
не обращаются в нуль одновременно ни при каких рассматриваемых значениях
и. Параметр и не имеет особого значения; в нашем распоряжении имеется
целый класс параметров, полученных один из другого преобразованием С2 с
необращающейся в нуль положительной первой производной, так что все
параметры возрастают одновременно. Итак, имеется кривая Г в пространстве
