Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Гиббса для систем, в которых отдельные переменные принимают произвольные
действительные значения. В частности, это относится к системам с
гамильтонианами вида
Н = 2 " (я - У) Ф (^) Ф (У) +
+ 2 Ь (arx, хг, х3, хя) ф {хг) Ф (х2) ф (ж8) ф (г,),
где на четвертичную часть должны быть наложены некоторые условия
положительности. Основная задача состоит в том, чтобы исследовать
характер убывания плотностей конечномерных распределений вероятностей при
l<p(#)l 00 у предельных распреде-
лений Гиббса. Ряд известных нам результатов в этом направлении получен
недавно в работах Дж. Лйбови-ца и Е. Презутти [97], а также М. Кассандро,
Е. Оливьери, А. Пеллегринотти и др. в: Zeitschr fur Wahr-
scheinlichkeitstheorie, 1978, v. 41, p. 313.
Вторая глава книги посвящена анализу фазовых диаграмм решетчатых систем.
Имеется серия работ четырех авторов: Ю. Фролиха, Р. Израэля, Э.
Либа и
Б. Саймона (ФИЛС) (препринты которых публикуются в Comm. Math. Physics u
Journal of Statistical Physics), где развивается другой метод
доказательства неединственности предельных распределений Гиббса, нежели
тот, который описан в книге. В основе этого метода ле-
198
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
жит понятие Reflection Positivity, близкое к условию положительной
определенности соответствующей trans-fer-matrix, и специальный метод
оценки вероятностей контуров (chessboard method). В работе названных
авторов, опубликованной в Comm. Math. Phys., v. 62, № 1, 1978, p. 1,
проводится подробное сравнение обоих методов. Со всеми выводами этого
сравнения, кроме последнего, относящегося к трудности доказательств,
можно в данный момент согласиться. Тем не менее, есть основания
надеяться, что при надлежащем развитии методов главы 2 удастся получить
многие результаты работ ФИЛС. Основной пример, с которого естественно
начать,- проведение доказательства о неединственности предельного
распределения Гиббса для моделей квантовой теории поля 'Р(ф)*2 методами
контурных моделей. Само собой разумеется, что это потребует обобщения
понятия контурной модели в направлении построения контурных моделей со
взаимодействием.
Другое интересное продолжение исследований - распространение результатов
главы 2 на решетчатые системы, где спиновая переменная принимает
непрерывные значения. Отметим в этой связи работу В. А. Малышева и Ю. А.
Терлецкого и работу Ю. А. Терлецкого (ДАН СССР, т. 246, № 3, 1979, с.
540). В недавней работе Й. Славного (Journal of Statistical Physics,
1979, v. 20, № 5, p. 57) в ряде случаев фазовые диаграммы исследуются по
теории возмущений в окрестности [i = °°.
В связи с § 1 главы 3 отметим работы Т. Спенсера и О. Мак-Брайана (Comm.
Math. Phys., 1977 v. 53, № 3, p. 235) и С. Б. Шлосмана (Теор. и матем.
физика, т. 37, № 3, 1978, с. 427) об убывании корреляций в двумерных
моделях.
Значительного продвижения следует ожидать в исследовании проблем главы 4.
В первую очередь, это относится к анализу области устойчивости
гауссовских автомодельных распределений. Другая проблема - построение
негауссовских автомодельных распределений методами теории бифуркаций и е-
разложения, наподобие того, как это было сделано для иерархических
моделей Дайсона (см. [48]). Недавно большой прогресс здесь был достигнут
в работах П. М. Блехера и
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
199
М. Д. Миссарова, которым в некотором формальном смысле удалось
просуммировать ряды в е-разложении и получить красивые компактные
выражения и для соответствующих автомодельных распределений, и для
спектра линейной ренормгруппы.
С другой стороны, пока неясно, насколько эти исследования помогут при
анализе критических индексов короткодействующих моделей. В связи с этим
весьма важно исследовать автомодельные распределения, отвечающие точно
решаемым моделям - модели Изинга и модели Бакстера. Чрезвычайно сильные
методы здесь развиты в серии недавних работ японского математика М. Сато
и его сотрудников. По-видимому, развитие этих исследований - одно из
самых перспективных направлений в теории фазовых переходов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. Я.-УМН, 1972, т. 27, № 5, с. 119.
2. Березин Ф. А., Синай Я. Г.-В сб.: Труды Московского математического
общества, 1967, т. 17, с. 197.
3. Березинский В. J1. Автореферат диссертации. ИТФ им. Л. Д. Ландау,
1974.
4. Берестецкий В. Б. В сб. ИТЭФ.: Элементарные частицы, 1973 в. 1 с. 3.
5. Блехер П. М.- УМН, 1977, т. 32, в. 6, с. 243.
6. Блехер П. М. В сб.: Труды Московского математического общества, 1976,
т. 33, с. 155.
7. Блехер П. М. В сб.: Многокомпонентные случайные системы.- М.: Наука,
1978.
8. Боголюбов Н. Я., Петрина Д. Я., Хацет Б. Я.- Теор. и мат. физика,
1969, т. 1, № 2, с. 251.
9. Боголюбов Я. Я., Хацет Б. Я.- ДАН СССР, 1949, т. 66, № 3, с. 321.
10. Герцик В. М., Добрушин Р. Л.- Функц. анализ и его при-лож., 1974, т.
8, № 1, с. 12.
11. Герцик В. М.- Изв. АН СССР: Сер. мат., 1976, т. 40, № 3, с. 448.
12. Добрушин Р. Л.-Теория вероятн. и ее прим., 1965, т. 10, № 2, с. 209.
13. Добрушин Р. Л,- Функц. анализ и его прилож., 1968, т. 2, № 4, с. 44,
