Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ (п-1)п-' • 2(1п22)и'] • С2"-' -ехр{ - А| Re/1}.
Тем самым мы оценили
Слагаемое в Z2 имеет вид
^('Н^!,2-2/' /=2> •••' п-
Пусть teOh- и Г есть окружность с центром в t, имеющая радиус v". Тогда Г
лежит в области аналитичности х"_2/, и поэтому
/Л 7/+1 ^ хи-2((%) Л
Г
Используя индуктивное предположение |хп-2/|<фп-2ь мы имеем
j Sl (,) | ^ JL / с2 <п~2i>¦-1 (и - 21)-21 [lm {п-2/)] 2 <п~21> х
х С Г(2,+ 1,и2,+1 (1т п)3/2 <2,+ 1)2п С in ~1 In ~ 3/2и х
х ехр {- А(| Re г | - 1)}.
145
Если выбрать С достаточно большим, то |i,(f)|</C2B-,(n -2/)B~2'n2'(lm(n -
2/))2(в_2,) х
х(1пи)3'ехр{ - Л,| Re Т |}.
Таким образом, получаем
ie2i<? moi= ё moi+ s if<(oi-
1 = 2 1 = 2 /=[1пл] + 1
В первой сумме число слагаемых не превосходит In п. Это дает
[Inn]
Yj |si(<)Kln2nC2B~2nB(lnn)2Bexp { - Л, | Re г |}.
1 = 2
Для второй суммы можем написать
? \s,{t)\<-^C2,>-lnn(lxin)2nexp{-X\Ret\}.
;-[inn] + i "
Взяв С достаточно большим, получим окончательно |^2|^(2^) _1Ф"(<), что
дает (17). Тем самым (16) доказано. Меняя С, если необходимо, мы можем
переписать искомое неравенство в виде
|х"(<) |<Свив(1пи)2вехр { - Х,| Ret|}, tt> 1.
Оценка (16) используется для оценки погрешности
8"(') = ? Y*[x*('+y)-2x*(0 + x*('-y)]-
* = О
-У2У'(хо(() + У2х2 (0 + - +УПх"(0)> п = 2т. Запишем е"(<) в виде ев(<) =
5! +s2 -s3- sA, где m v2i d2i
, О<0;<1,
/+9,у
У п+2 dn + 2
S2=(iHly.dFT2^0+A^
2 ? И'+1>(х0),А u s3 = y Е -----гг-1 (А.) .
i = 0 *•
j _у2 к("+2>(хо+ед") +1
i4_Y (я+1)! Дв '
146
Д" = у2х2 + ... + упхп. Вспоминая определение хк, мы видим, что все
члены, содержащие множитель ур, 0 сокращаются.
Таким образом, мы должны оценить только члены, степень которых
превосходит п. Обозначим сумму таких членов в S; через st. Имеем
2п т , ,2 к
Возьмем контур Г с: Ок такой, что t лежит внутри Г, длина Г не меньше чем
const и inf | Е, - /|^const. Из формулы Коши и оценки (16) следует оценка
l^i I :$yn(const)',/j',+2(ln/j)2nexp { - А.| Re/|}.
Таким же образом оцениваем s2:
!s2|<y" (const) "п"+1 (in п) 2пехр {- X | Re /1}.
Далее, |s3|^/j3 max | Р?г) |, где
J1+- +Л-г-2 1 <Ji<n
Из неравенства Коши
F(s+1,(x0)
< const ¦ п, и поэтому
IP'r)|<const-"y2 ? IХ^ I -... -1ХЛI.
Л+ 2
1 <7,<п
Пусть qn^r - 2 <(<7+ 11)и. Наибольшему слагаемому в последней сумме
отвечает набор (/ь ..., js), у которого
h=j2 = -=jq = n, Л +1 = - - =Л -1 = 1, js = V
и v находится из соотношения jl + ...+js = r - 2 или его перестановки.
Тогда такие же аргументы, что и выше, показывают, что
|XV".-XA|<
<(у const • п In2 и)'" (у ¦ const)(у • const - In 2 v)v ехр {- X | Re
/1}. Допустим теперь, что п удовлетворяет неравенствам const -у -и1п2и<
1.
147
На самом деле необходимо рассматривать только л<л(у). Тогда
| Рзг) const • у" • (const) "In2" л ехр (const • л) ехр (-X Re t)
и
15з К const • и4 (у const • In2 и) "ехр {- X | Re 11}.
Таким же образом мы оцениваем s4 и получаем | (т) К (у const
- и In 2 и) "ехр { - Х| Re 11}.
Для л-л (у)
| е" (т) К ехр {- const \(/ (у)} - ехр {- >-1 Re т (}. (23)
Теперь окончим доказательство теоремы 2. Для достаточно малых у4 положим
z(t) = zy(t) = x0(t) + y2x2 (t)-l-...+y"x"(t), л = л(у).
Тогда z(t) удовлетворяет уравнению
z((t+l)y)-2z(ty) + z((t-l)y) = y2K'(z(ty))+e(t),
где для e(t) выполнено (23). Обозначим z" = z(ny), ел = е(лу). Имеем
гл+1 - 2z" + z"_1 = y2 V'(z") + e",
|ея|<ехр{- \(/(у) - Л,лу). Положим v(t) = z'(t). Тогда
v({t+\)y)-2v{ty) + v((t-\)y) = y2V"{z(ty))v{ty) + b(t),
где 5(t) = e'(t) и в полосе 0Л/2
15 (t) К const • ехр {- \|> (у) - X \ Re t \}.
Обозначим v"=v(ny). Покажем, что v" есть требуемая последовательность.
Прежде всего:
v" + i~2v" + v"-1=y2V" (z")u" + 6", (24)
5" = 5(лу), | б" | ^ const • ехр {- const ¦ \(/(у) -Хлу}. Сравним
v" с решениями м"+, и", построенными ранее. Ограничимся v" и ий при л<1.
Для последовательности и"
мл'+1-2илЧ-ил"_1 = у2К"(хл)йв (25)
и и; -*0 при л-> - оо, в то время как для х" мы имеем
хл+1-2хл+хл_1=у2К'(хл),
х"-> -1/2 при л-> - оо, х"->1/2 при л-юо. Уравнения (24), (25) отличаются
слагаемым 5", и в (24) стоит у2 V" (z"), в то время как в (25) стоит у2 V
(х"). Для d = z" -х" можем написать
d"+i-2d"+dB-1 = y2i;(y d"+eB,
148
где ^€0л/2) и поэтому | F"(^)|<const. Решение последнего уравнения можно
записать в виде
оо
d"= X G(n-m)em,
m = - оо
где G есть функция Грина. Воспользуемся теперь следующей хорошо известной
оценкой:
|G(n, т)|^Сехр{ - yconst|"j - л|}.
Тем самым мы получаем
{ 1
L- о
d"|< const- X exp{-yconst-|n-w|}|em| +
const
|*|"---------
X?2
+ X exp{-yconst-|n-m|}|sJs$
const
|m|>------
Хг2
const
exp { -ф(у) -const-ny}.
by2
Для d" это дает следующую оценку:
|dj^exp {-const • ф (у) -const • | n\ y}.
Положим Лп = и"- vn. Выберем нормировку v~ таким образом, чтобы Ио = 1>о,
т. е. До = 0. Для Д" мы имеем систему уравнений
An+1-2An + An_1=y2K"(xn)An + 5n + y2[K''(xn)-K"(zn)]nn. Оценка d" дает
|у2[Г"(х")- r"(z")]nn<y2| Г'"(^,)||_уп -z"||пп|<
< const • ехр {- const • ф (у) - const -1 п \ у}.
Мы видим, что уравнения для Д" и d" вполне аналогичны друг другу, и такие
