Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
= (ki,k2, ... кп ] e~iAh'aa (Ак) U (а, Л) | Ф). (7.56)
Так как последнее равенство справедливо при любых |Ф), то
U (a, A)ahU^(a, А)”1 = е~1Ак'аа (Ак). (7.57)
Ранее мы установили, что оператор U (а, А) унитарен для ортохронных
преобразований Лоренца, так что равенство, сопряженное к (7.57), дает
закон преобразования at при ортохронных преобразованиях Лоренца:
U(a'A)a*hU (a, Ay1=eiAh-aa*(Ak). (7.58)
Это согласуется с равенством (7.53), если вспомнить определение базисных
векторов [равенство (7.17)]. В частности, как отмечалось выше,
одночастичное состояние | к) преобразуется при однородных ортохронных
преобразованиях Лоренца в состояние
U (А) | к) = U (А) а% | 0) = U (А) аЩ (Л)-11 0) = | Ак), (7.59)
и при «чистом» сдвиге
U (а) | к) = eih'a | к). ? (5ы60)
Обсуждение свойств операторов поля при отражениях мы отложим до введения
операторов в конфигурационном пространстве.
166
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Можно получить явное представление унитарных операторов, соответствующих
сдвигам, если заметить, что для произвольной вещественной функции / (к) =
/ (к) 4-импульса к, (к0 = сщ)
ei$dSl(h)f(k)alaha^e-i $ dQ(k)f(k)a?ak = e-ij(q)a (7.61)
где dQ (к) = d3k/k0.
Доказательство-. Рассмотрим оператор
Aq(%) = eik I d?2 W 4%^-^ §dQ(k)f(k)a?ah' (7.62)
Когда X = О,
Ag(0) = aq. (7.63)
Нужно найти Aq( 1). Дифференцируя (7.62) по К, находим, что Aq (X)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
= е aj dQ (h), (k) a*hah ik^dQ(k)f (k) aq] e~* J <*> f <*> “W =
= -if(q)Aq(X). (7.64)
Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному
условию Aq(0) = aq, есть
Aq (X) = e~iX> ^)aq. (7.65)
Полагая Х = 1, получаем (7.61).
Для вещественной функции / оператор F — ^ dQ (k)f (k) a%ah эрмитов,
так что eiF — унитарный оператор. Сравнивая (7.61) и законы
преобразования операторов а, а* при сдвигах, находим
. d3fc *
и (b, I) = е J ~*Г VVkbi* = eiP^ (7 66)
где
Р»= 5 ltk»alah (7'67)
есть 4-вектор энергии-импульса поля: РЦ = (Я, Р). Легко проверить, что Рц
действительно обладает нужными трансформационными свойствами при
однородных преобразованиях Лоренца:
и (Л) Р^и (Л)-1 = ^ dQ (k) k^a\haAh =
= ^ dQ(Ak) kllaAkaAk = ^ dQ (к) (А~1к)^а\аи = (Л’1)^.. (7.68) Отметим,
наконец, что
[TV Pv] = 0, (7.69)
так что можно найти представление, в котором все компоненты диагональны.
Итак, операторы энергии-импульса инвариантны относительно сдвигов и
являются генераторами бесконечно малых сдвигов в пространстве-времени.
§ 3. Конфигурационное пространство
167
§ 3. Конфигурационное пространство
Далее мы введем гейзенберговский оператор ср(+) (ж) в конфигурационном
пространстве, определив его равенством
<7'70)
Ло > О
Отметим, что ф<+)(ж) есть оператор уничтожения частицы. Значок (+?
указывает, что ф<+) содержит лишь положительные частоты в фурье-раз-
ложении по времени, т. е. только множители вида e~ikox° при к0 > 0.
Поскольку ко — -J- j/k®-)- р2, то ф(+) (х) подчиняется уравнению Клейна-
Гордона
(? + [а2)ф(+)(ж) = 0. (7.71)
Оператор рождения ф(_)(;г), определяемый равенством
ф(->(ж) = —[ ?*±eih-xal (7.72а)
/2(2я)з J к0 «’ Л '
У У ’ йо>0
= [ф(+)(г)]*, (7.726)
содержит только отрицательные частоты [что отмечается значком
('']
и также удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
(? + Иа)фн(®) = 0. (7.73)
Используя (7.19), (7.20) и (7.23), получим перестановочные
соотношения
для операторов ф(+)(.х), ф1-)(;г):
[ф<±4*). Я>(±) (я')] = 0, (7.74а)
[ф<+>(я), Ф('>(2/)] = 2(4)'з J (7-746)
А0 > 0
= iAM(x-y). . (7.74в)
Правую часть коммутатора мы обозначили через Лм(х — у), т. е.
A'"<*>=-w ) <7-75“>
h0> 0
4“ СО
"W ^ (7.756)
— СО
Аналогично находим
[ф'->(Д ф(+>(у)]=-2^з J 2^-е»Мх-ю (7.76а)
к0> 0
= iAl->(x-y), (7.766)
где
4'"<*>-2(S? 5 <7'77")
fe0> О
i
(2я)3
^ d4fce-ih *0 (- ft0) 6 (fc2 - р2). (7.776)
168
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Сравнивая (7.75) и (7.77), замечаем, что
—? Л<-) ( — х) = Л(+) (х). (7.78)
Из представлений (7.756) и (7.776) видно, что функции Л(±> инвариантны
относительно собственных однородных преобразований Лоренца
Д(±)(Аж) = Д<+)(ж) (7.79)
и являются инвариантными решениями уравнения Клейна — Гордона
(? + ца)Д<±>(а;) = 0. (7.80)
В последующем изложении мы неоднократно будем использовать следующее
свойство функций А^Г Если /<+> (х) — некоторое положительно-частотное
решение уравнения Клейна — Гордона, тогда значение /<+) (х) в
пространственно-временной точке х выражается через начальные значения ф
(х) решения на некоторой пространственно-подобной поверхности о, /<+>
(х') = ф (х') при х'?сг, где о предшествует х, и через значения
нормальной производной на этой поверхности п^дгД(+) (х') - (ж'),
а именно:
fM(x)= ^ da»(x') . (7.81)
0
Доказательство: Рассмотрим выражение
F(x)= — ^ do»(x')Ai+)(x-x')%f^(x'), (7.82)
о'
где а'— некоторая произвольная пространственно-подобная поверхность. Так
как и /(+), и А<+) удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то. согласно
теореме Гаусса, F не зависит от выбора пространственно-подобной
