Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Можно поступить иначе: ввести четырехкомпонентВий спинор ф„, который
выражается через спинор ф, удовлетворяющий урав-
Ш
Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
нению (5.16) согласно
^=4(1 — iYs) (5.23)
Спинор ф„ автоматически удовлетворяет условию
iys$n= — фп- (5.24)
В представлении, где
v»-(? о)' V = (_“ о)' <5-25а>
Ys = 4o -I* (5.256)
спинор ф„ в сущности является двухкомпонентным
Фп
Ф» = (/о]- (5-26)
так как оператор проектирования х/2 (1 — iy5) обращает в нуль две нижние
компоненты. Двухкомпонентный спинор ф^ удовлетворяет уравнению
— 0-рф; = р0\рп, (5.27)
получающемуся в результате умножения уравнения (5.16) на 1/2 (I — iy5).
Можно проверить, что в четырехкомпонентной теории частиц с массой, равной
нулю, существует преобразование Ф. — В., которое освобождает гамильтониан
от нечетных операторов, придавая ему вид
Я' = Рс|р|. (5.28)
Это каноническое преобразование записывается в виде
<5-29>
Оператор координаты в дираковском представлении снова может быть
определен выражением
X=e-isxeis. (5.30)
Он обладает желаемыми свойствами: а) при вращениях преобразуется, как
вектор; б) [Xj, Xj]=0; в) [Xj, pj] = idij; г) в
применении к положительно-частотным состояниям производная Хг
Но времени равна
cpi/jpj. С другой стороны, можно показать, что в двухкомпонентной теории
не существует оператора координаты, который лреобразовывался бы при
вращениях как вектор (см., например, работу Фронсдейла [286]).
§ 2. Состояния поляризации частиц с массой, равной нулю
Собственный момент количества движения частицы с массой, равной нулю,
ориентирован параллельно направлению ее движения. Если связывать со
спином некоторое внутреннее движение, то оно должно совершаться в
плоскости, перпендикулярной скорости, и поэтому говорят
§ 2. Состояния поляризации частиц с массой, равной нулю
119
о «поперечной поляризации». Для частице массой, равной нулю, значение
спиральности s (р) = +1 — релятивистски инвариантная величина в отличие
от случая частиц с ненулевой массой. У частицы с конечной массой покоя
спиновый момент количества движения также может быть параллелен скорости,
т. е. для нее также возможны состояния с поперечной поляризацией. Однако
эти понятия не лоренц-инвариантны: если скорость и спин параллельны в
одной системе отсчета, то они, вообще говоря, не будут параллельны в
другой. В частности, очевидно, что в системе отсчета, в которой частица
покоится, спиновый момент не параллелен скорости, так как последняя равна
нулю. Всякая частица с конечной массой может быть описана в системе
координат, в которой она покоится.
Поэтому для такой частицы утверждение, что ее спин параллелен направлению
движения, не может быть верным для всех наблюдателей, и, следовательно,
частица должна иметь и другие состояния поляризации. Однако для частицы с
массой, равной нулю, движущейся со скоростью света, не существует системы
координат, относительно которой бы она покоилась. Этим объясняется
различие между частицами с массой, равной нулю, имеющими только два
направления поляризации при любом значении их спина, и частицами с
конечной массой, которые имеют 2s -|- 1 состояние поляризации при спине
s. Вигнер [863 , 864] проанализировал это различие более подробно. Его
анализ состоит в следующем.
Рассмотрим покоящуюся частицу в состоянии с заданным направлением
поляризации. Пусть этим направлением будет ось z. Поворот частицы и
одновременно сообщение ей скорости и в направлении поляризации приводят к
одному и тому же состоянию частицы, независимо от порядка, в каком
выполняются эти операции, т. е. сообщается ли частице сперва скорость v в
направлении оси z, а затем совершается поворот, или, наоборот, сперва
совершается поворот, а затем сообщается скорость в направлении
поляризации. Это иллюстрируется фиг. 5 (простая стрелка обозначает спин,
двойная — скорость частицы). Сформулированное утверждение проще всего
доказать, если сравнить, как выглядйт состояние частицы в различных
лоренцевых системах отсчета. Если смотреть на одно и то же «стандартное
состояние» из различных систем координат, то при этом представляются все
возможные состояния физической системы. Для задания стандартного
состояния нужно фиксировать какую-либо лоренцеву систему отсчета и
потребовать, чтобы состояние, принимаемое в качестве стандартного, имело
в этой системе отсчета заданные характеристики. В качестве стандартного
состояния выберем состояние, в котором частица покоится, а спин ее
ориентирован по оси z. (Понятно, что такое стандартное состояние возможно
только для частиц с ненулевой массой покоя.) Если,
Напрс
0С1
Частице сообщена скорость v по направлению ее спина
на угол в
Ф иг. 5.
120
Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
например, смотреть на стандартное состояние из системы координат,
движущейся вдоль оси z со скоростью —у, то увидим частицу, движущуюся
вдоль той же оси со скоростью -(-к, причем спин ее будет ориентирован по-
