Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Зыразить каждую из сингулярных функций D, S и Д через известные функции
(Бесселя, Ханкеля и Неймана).
2. Вывести однородные или неоднородные уравнения, которым подчиняются
каждая из сингулярных функций.
3. Найти функции, представляющие спаривание
а) нуклонных операторов фт (х),
б) мезонных операторов срДж),
в) гиперонных операторов в рассмотренных в гл. 10 теориях сильных
взаимодействий.
Глава 14
1. а) Показать, что в приближении (Ае)2 возникает различие в рассеянии
позитронов и электронов на внешнем поле, и проследить природу механизма,
ответственного за это различие.
б) Обсудить степень расходимости несвязных диаграмм с петлями в теории
взаимодействия электронно-позитропного поля с внешним полем.
в) Обсудить связь между вероятностью обнаружения пар и компонентами с
отрицательной энергией амплитуды <0 | фе (х)\ 1 электрон) =%(х) в ее
разложении по решениям свободного уравнения Дирака.
2.а) Доказать, что в низшем порядке теории возмущений число пар бозонов,
образованных в единичном объеме пространства-времени внешним
электрическим полем $ = (0о cos сot, 0, 0), равно
в(„_эд.
48я to3
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
797
б) Получить выражение для полной переданной энергии и связать эту
величину с мнимой частью комплексной диэлектрической постоянной «вакуума»
заряженного бозонного поля.
в) Вычислить вещественную часть, предполагая, что диэлектрическая
постоянная подчиняется дисперсионному соотношению (см. статьи Уилера и
Ювима [225] и Толла [781]).
г) Повторить эти вычисления для электронно-позитронного случая.
3. Получить правила Фейнмана для
а) псевдоскалярной мезонной теории (ф—изотопический спинор, а <р—
изотопический вектор),
б) теории [5-распада Ферми,
в) рассмотренных в гл. 10 теорий сильных взаимодействий,
г) теории нерелятилистских (шредингеровских) фермионов с двухчастичным
потенциалом взаимодействия (см., например, статьи Дюбуа [189, 190]),
д) теории нерелятивистских бозонов с двухчастичным потенциалом
взаимодействия.
В каждом случае подробно исследовать роль несвязных диаграмм типа
замкнутой петли. Показать, что в релятивистски инвариантной теории
величина <Ф0| S | Фо>„
О
является мнимой.
4. а) Запишем матричный элемент ^-матрицы для комптоновского рассеяния в
виде
/ Д/2 \1/2~
Sn = bn-2nib (Kf Е{) ( 4(о1со2?1Е2 ) uTfiU'
Доказать, что величина иТ^и релятивистски инвариантна.
б) Получить соотношение между дифференциальным эффективным сечением
комптоновского рассеяния в лабораторной системе и системе центра масс.
5. а) В низшем порядке теории возмущений вычислить амплитуду и
эффективное сечение для рассеяпия фотона на частице со спином 1/2,
имеющей заряд е, массу М и аномальпый магнитный момент X. (Вершинный
оператор в этом случае приобретает вид
X
Гц=Уц 2Д/~ iCVv?V>
где q — четырехмерпый импульс, переданный в этой вершине [649].)
, б) Найти предел малых энергий для этой амплитуды рассеяния и
эффективного сечения.
6. Вычислить в низшем порядке теории'возмущений рассеяние электрона на
частице со спином V2, имеющей заряд е, йассу М и аномальный магнитный
момент X (формула Розенблюта [674]).
7. Найти в низшем порядке теории возмущений амплитуды рассеяпия и
эффективные сечения для л*-л~- и зт±-зт±-рассеяний, учитывая только
электромагнитные взаимодействия.
8. В низшем порядке теории возмущений найти амплитуды следующих
процессов:
а) аннигиляции е+ —е —> 2у "[ (с учетом только электромагнитного
б) аннигиляции л+-\-л~ -—> 2у j взаимодействия),
в) аннигиляции —> 2л (в PS—/^-теории).
Вычислить в каждом случае время жизни.
9. Обсудить связь между амплитудами процессов
я+ + л- —> 2у.
и
Я±+Т —^ Я±+'У (а также процессов e+-j-e— —> 2у и e^-j-y —> е±-]-у).
798
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
10. Найти в низшем порядке теории возмущений амплитуды рассеяния я-ме-
зонов на нуклонах в PS— Р?-теории. Сравнить их с амплитудами этих же
процессов в PS — РР-теории.
11. Вычислить в низшем порядке теории возмущений эффективные сечения для
образования
а) электронно-позитронной пары,
б) пары р+—
в) пары Л+— л~,
при рассеянии на ядре свинца
а) фотона,
б) электрона,
в) ц-мезона.
Считать ядро свинца бесконечно тяжелым и учитывать только
электромагнитные взаимодействия.
Исследовать зависимость этих эффективных сечений от состояния поляризации
падающей частицы.
12. Вычислить время жизни нейтрального псевдоскалярного я°-мезона
относительно распада на 2у-кванта в предположении, что взаимодействие
имеет вид
. „ G а „
>5?эфф = -^~ф^-да,
где ср—оператор л°-мезонного поля, а $ и 86— операторы напряженностей
квантованных электрического и магнитного полей. Показать, что фотоны
поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.
13* Показать, что если для объяснения распада —~> v-f- v
использовать
гамильтониан
/ ~ 1 ~ 1 / х Gvvay v + 3' с-’
тс» в случае распада поляризованного ц+-мезона позитрон и антинейтрино
будут иметь тенденцию вылетать в противоположных направлениях, а нейтрино
