Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Rap((o) = Ti((o)dali-\- ~T2(a) [ха, тр], (18.450)
где коэффициенты (со) и Т2(со) благодаря условию (18.449) удовлетворяют
соотношениям
(18.451а)
Т2(са) = -Г2(_(о). (18.4516)
Соотношение (18.4516) для Т2 (со) обусловлено антиэрмитовостью матрицы
1та> Тр]- Эти амплитуды можно также разложить по амплитудам,
соответствующим состояниям с определенным полным изотопическим спином,
Т, (со) = } (Ту, (со) + 2T-i;, (со)] = 1 [Т. (со) + (со)],
(18.452а)
^2(со) = [Ту, (со) — Тз/, (со)] — у [ — 7\(со) ДТ_ (со)], (18.4526)
где через 7\/2(со) и Тз/2 (со) обозначены амплитуды рассеяния в
состояниях с полным изотопическим спином 1/2 и 3/2, а через Т+
и Т_ —
амплитуды когерентного л+-р-расреяния и я~-р-рассеяния.
Доказательство: Запишем рад(й>) в виде
Ra(, (со) =4 2: ) Tt (со) [РЛ«р, (18.453)
??1' m
где Pt — операторы проектирования, проектирующие на состояния с полным
изотопическим спином 1/2 и 3/2. Так как
Pv, = }(l-T.t), (18.454а)
= 2 + T-t) (18.4546)
(t — оператор изотопического спина мезона), то разложение (18.453) можно
записать в виде
йар (и) = 4- [Ту, (со) + 2Т3/, (С0)]6ар + 4 (Т3/, (со) - Ту, (и)] (т-
t)e„. (18.455)
§ 4. Дисперсионные соотношения
775
Поскольку
(Г- t)ap= —ieap6 тб= —у [та, т0], (18.456)
то сразу получаются соотношения (18.452а) и (18.4526). Отметим также, что
Т1 (я>) 6ар = "К [flap (ы) + flpa (®)]> (18.457)
у Т2 (со) [т«, Тр] = ~ [Вац (to) - flPa (со)]. (18.458)
Получим теперь дисперсионное соотношение для Tt (со). Согласно (18.457),
1\ (и) = Raa (со) (без суммирования по а), так что
Re 7\ (со) = ^2лг {J dГ)- +
О — д.
— (Л СО
+(5 + S (18-459)
— со |Л
В представлении (18.445) для Raa (со, г) проинтегрируем по t, используя
трансляционную инвариаптность по времени. Замечая далее, что I (Р | ]'а
(0) | п) Р — величина действительная, без труда получаем
Im R (а г)-я 8’п/ш2-Ц2г V sin | рЛ | г
1т паа (со, г) — я 2л |Рп^ Х
х | (РI и (0) I п) I2 (6 (со + Еп - М) - 6 (О) - Еп + М)}, (18.460)
и, следовательно, Im Raa — нечетная функция:
Im Raa (со, г) = — Im/?aa ( — со, г). (18.461)
Разложение (18.460) записано в лабораторной системе (р = 0, р0 — М).
Снова очевидно, что при j со' | > р изменение порядка
интегрирования
по г и со законно. При | со | < р в сумму в формуле (18.460) вносят
вклад
только однонуклонные состояния j п) с импульсом рдг = со (со + 2Л7).
Состояние с одним пуклоном и п мезонами (п = 1, 2, ...) вклада в этой
области (| со | < р) не дают, поскольку для таких состояний должно иметь
место \Еп — М|->ц, что запрещается 6-функцией. (Здесь мы предположили,
что у системы мезон — нуклон нет связанных состояний с массой, меньшей М
+ р.) Таким образом, при ] со ] < р
Im Д.а М - я siyggp ' 7);») ' 2 |<Р1/а(0)1рм,ч>|!Х
PJV. V
X {6 (со + ?jv — М) — 6 (со — En + М)} при | со | < р. . '(18.462)
Поэтому изменение порядка интегрирования по г и со в формуле (18.459)
априори не является законным. Здесь можно либо воспользоваться
аргументами Лемана для оправдания изменения порядка интегрирования, либо
рассмотреть (как мы уже поступали в настоящем параграфе раньше) амплитуду
А;«И= [^-(з^)2] flaa(O)). . (18.463)
776
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Из представления ImTt (ш) = у ^ с1*хеш-х{р\ [/« (х), /„ (0)] |р) =
= S I (РI /“ (°) I I2 {б<4> (fc + я - Р») - 6(1) (k + pn- Р)} (18.464)
| П >
следует, что в области ц > со > 0 необходимо рассматривать только член со
второй 6-функцией в скобках, причем, как отмечалось выше, вклад в сумму
вносят только однонуклонные состояния |7V). Выполняя интегрирование по
pjv, находим, что в лабораторной системе величина ImT^co) при 0<со<ц
имеет следующую конструкцию:
Im2\(co)=—я 2 |(Pl/<x(0) |-к = е1/ш2-ц2, у)|2б(ш+?к-М),
_/СПИН \ | „
V (ивоспив) |0<СО<ц|, (18.465)
где | — к, у) — однонуклонное состояние с импульсом —к, энергией Еу_ =
ф^к2 -f jVl2 = М2 — (|т2 — со2) и спиновым и изоспиновым квантовыми
числами, конкретизируемыми заданием у. Между прочим, отметим, что импульс
нуклона к мнимый. Это показывает, что рассматриваемая область
нефизическая. Множитель б (со + у"со2 _ ц2 + М2 — М) в формуле
(18.465) можно переписать в виде ^б ^co — • Подоб-
ным же образом в области — ц<со<0 вклад в мнимую часть Im Tt (со) будет
иметь вид б-функции ^ ® ) ’ помноженной на константу, причем,
согласно (18.451а), она совпадает с константой, на которую умножалась
функция — б ^со — при вычислении ПпГ^со) в области
ц>со>0. Таким образом, для 1т7’1(со) в области — ц < со < ц получается
следующее представление:
Im Тj (со) = — я 2 I (Р | /а (0) | к = е У"со2 — ц2, у) |2 х
X
{б(®- Si') — 6 (® +w)}’ I—ц<®<р,|. (18.466)
Из этого представления ясно, что свойства аналитичности амплитуды Raа
(со), определяемой согласно (18:463):
Т[ (со) = R'aa (со) = + Л (соЛ--^Л Raa (со),
такие же, как и у функции Raa (со), с—той лишь разницей, что она
дополнительно обладает нужным свойством
1тГ'(со) = 0 при | со) < jjl. (18.467)
Поскольку свойства функции R'aa (со) относительно замены со —> — со такие
