Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(№\ -ад/3я -aH/3*lii(M2/4m2) ад М2 1 / aj . М2 '\2
v4n ) — зя 4т2 2 V/Зл П4т0 +'"
обладает тем свойством, что каждый коэффициент расходится при М2 -* со.
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
645
импульса (р — р')г стремится к бесконечности, а импульсы р, р' лежат на
массовой поверхности. Формула Челлена утверждает, что
lim YltL(p2 = p,2 = m2] (р — /У)2) = Z^, (17.164)
(р—р')2->со
т. е. в этом пределе Гщ дается выражением в борновском приближении,
умноженным на Zt. Затем, используя результаты Лемана, Симанзика и
Циммермана [491 ] (обобщенные на случай квантовой электродинамики Эвансом
[899] и Дреллом и Захариазеном [187]), можно показать, что на самом деле
в этом пределе вершинный оператор стремится к нулю. Поэтому можно
заключить, что Z4 = 0 или Z'1 = со.
Вывод Челлена был подвергнут критике с двух точек зрения. Первая касается
калибровочной инвариантности результата (17.164). Джонсон [395]
обнаружил, что, в то время как Г1д — калибровочно-инвариантная функция и
непосредственно связана с экспериментально наблюдаемыми величинами,
перенормировочная константа Zj калибровочно не инвариантна.
Действительно, как мы отмечали, во втором порядке теории возмущений и при
калибровке, в которой DFilv (k2) = (gMV — k^kvk~2)k~2, константы Zj и Zz
конечны, а при калибровке, в которой DFilv (к2) = g^vkT2, константа Zj
расходящаяся. Следовательно, замечание Джонсона показывает, что равенство
(17.164) не может быть справедливым, если оно случайно не выполняется при
некоторой частной калибровке. Зумино [879] проверил, что соотношение
(17.164) действительно не согласуется с калибровочной инвариантностью
квантовой электродинамики и что, кроме того, маловероятно, чтобы это
равенство было справедливо при какой-либо частной калибровке.
Второе возражение против доказательства Челлена было выдвинуто
Газиоровичем, Пенни и Суура [296], которые указали, что перечисление
Челленом возможных видов дисперсионных соотношений для вершинной функции
неполно и поэтому его заключений вывести нельзя.
§ 4. Л’-матрпца в гейзенберговской картине
В § 1 настоящей главы было указано, как функция Грина для данного
процесса выражается через среднее по вакууму от гейзенберговских
операторов, соответствующих входящим и выходящим частицам, участвующим в
процессе. В этом параграфе мы продемонстрируем, как выразить матричные
элементы ^-матрицы только через гейзенберговские состояния и операторы.
Способ для этого был уже намачен в гл. 13, где было показано, что
гейзенберговские ин-операторы можно формально определить с помощью
соотношений
«Pin (x) = V+(t)<t(x)\\(ty\ x0=t, (17.165а)
где V+H) = eiH(fi(+)e-iH( (17.1656)
и Q(+> = t/(0, — со) — волновая матрица Мёллера, которая преобразует
собственные состояния Н0 = Н(0)(0) с положительной энергией в собственные
ин-состояния оператора Н с той же самой энергией. Матрица Q(+) обладает
тем свойством, что
Н (0) (1 - Л) = Н (1 - Л) = Н(0) (0) Q(+)* = Н[°> (0) = Нй’ (0 = Н]”\
(17.166)
где Л —оператор проектирования на связанные состояния оператора И. Было
показано также, что матричные элементы оператора V+(-j-co)
646
Гл. 17. Гейзенберговская картина
между истинными состояниями рассеяния являются элементами ^-матрицы.
Изучим более подробно свойства ия-операторов в теории поля. Примем пока,
что в теории нет связанных состояний, так что й<+)* = Q<+)'1.
Из равенств (17.165) и (17.166) непосредственно следует уравнение
движения для фщ (х)
г30фт(ж) = [фшИ, НЦ>] (17.167)
и то, что ин-операторы для любых моментов времени удовлетворяют
перестановочйым соотношениям для свободных полей:
[фш И, фш (2/)] = гЛ (ж — у)- (17.168)
Мы считаем ф бозе-полем. Повторное использование равенства (17.167), т.
е.
-д02ф1п(я) = [[ф1п(.г), Щ?], Hi"], (17.169)
ведет к уравнению Клейна — Гордона
- ^o«Pin (ж) - (- 92 + (Т2) фщ (ж). (17.170)
Однако нужно подчеркнуть, что хотя ф1п (х) и удовлетворяет уравнению
движения для свободного поля, тем не менее оно является гейзенберговским
полем, т. е. его зависимость от времени определяется оператором Н, как
видно из приведенного ниже равенства (17.171а):
ф1п’(х) = ешг ?2<+>е-Ш(ф (х) eiHt Q<+)*e~iH1 == eiHt Q<+)<p (x, 0)
?2<+>*е~шг =
= еШ(фщ(х, 0) e~iHt (17.171a)
• u(0)i itr(O) #
= e in фщ (x, 0) (17.1716)
Можно получить явное соотношение между фнДя) и ф(ге), в которое не входит
V+ (t). Чтобы установить это соответствие, проще всего связать оба этих
оператора с оператором ф (х) в картине взаимодействия. Напомним, что
последний связан с гейзенберговским оператором ф (х) соотношением
U(t, 0)-> (x)U(t, 0) = ф(ж). (17.172)
Мы приняли, что дираковская, гейзенберговская и шредингеровская картины
совпадают при t = 0, так что
Ф (х, 0) = ф(х, 0). (17.173)
Поскольку зависимость ин-операторов от времени была установлена, то
достаточно получить явное соотношение между фщ (х, 0) и ф(х, 0). Для
этого используем равенства (17.165а) и (17.172):
ф1п(х, 0) = V+ (0) ф (х, 0)V+(0)-1 =
= U(0, — оо) ф (х, 0) U (0, -оо)-1^
