Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
3 ?!
(«v*. ? Лг (ki, • • • kn) =2 Г! (- ^ • -v„ (kb • • • К), (9.31)
vb. ? • vn=0 j=!
а также
г|2 = 1, (9.32a)
ц = ц*, (9.326)
т. e. оператор ц — эрмитов. Необходимо отметить, что относительно
билинейной формы (9.28) оператор А^{х) является самосопряженным, т. е.
(Х) a^k)?)G = (a^(k)x, W)G, (9.33)
что можно проверить с помощью выражений (9.26а) и (9.266). Далее,
оператор Ац подчиняется следующим соотношениям коммутации с оператором р:
[ИДя), р] = 0 (/ = 1,2,3), (9.34а)
\А0{х), р]+ = 0. (9.346)
В выводе Гуп.та — Блейлера было важным понимание того, что
дополнительное условие (х) 1W) = 0 при всех х, которому должны удо-
влетворять физические состояния, является слишком ограничительным.
Действительно, если наложить дополнительное условие в таком виде, то не
было бы состояний, которые бы ему удовлетворяли, ибо оно требует не
только отсутствия фотонов определенного сорта, но еще чтобы эти фотоны не
могли испускаться. Гупта и Блейлер предложили изменить условие Лоренца
так, чтобы оно имело место лишь для части оператора А^, уничтожающей
фотоны, т. е.
1 ^F) = 9 при всех х (9.35а)
или
L (к) | Ч*1) = kv-a^ (к) | ?) = 0 при всех к (kQ = | к [)
(9.356)
для каждого физического состояния j^F) электромагнитного поля. Поскольку
оператор д^А^ (х) удовлетворяет уравнению Qd^Av-(х)— 0, то разбиение
этого оператора на положительно- и отрицательно-частотную части d^AvW (х)
является релятивистски инвариантным. Обозначим через
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера
241
3* множество состояний | 4я), удовлетворяющих дополнительному условию, т.
е. совокупность таких векторов 14я}, при действии на которые L (к) =
(к) дает нуль. Будем рассматривать множество таких состо-
яний. Дополнительное условие L (к) ] 4я) = 0 достаточно для того, чтобы
фотоны были поперечно поляризованы, и не нарушает соответствия с
классической электродинамикой. Например, если обозначить посредством
(к) = (0 | а,* (к) | 4Я)С (9.36)
амплитуду вероятности найти в состоянии 14я), принадлежащем множеству
один фотон с импульсом к = {к0, к} и поляризацией ц, причем Arv^cv = 0,
тогда дополнительное условие А(к)|4я)=0 требует, чтобы
(к) = 0. (9.37)
Покажем, что условие (9.37) обеспечивает перпендикулярность поляризации
фотона к направлению его движения. Для этого вспомним, что поскольку
электромагнитное поле описывается с помощью потенциалов, то теория в
известном смысле неоднозначна, ибо всегда можно совершить калибровочное
преобразование
Av,{x)->Av.(x) + dV'A.(x), (9.38а)
причем
? Л = 0, (9.386)
где А —с-числовая функция.
Если ввести фурье-компоненты функции Л (х)
л^=^(A^k)e_ifc,*+A-(k)e+ift‘i)- (9-з9а) Л+ (к) = — Л7(к), (9.396)
тогда [равенство (9.38) в импульсном пространстве принимает вид
Яц (к) —> ац (к) +/ецЛ_, (к). (9.40)
Возможность производить калибровочные преобразования подразумевает, что
функция 4Я|11> (k) -j- кцА+ (к) описывает то же самое физическое
состояние, что и функция 4fjJ) (к)1). Другими словами,
амплитуды 4Я[11) (к)
и Ч’Д’ (к) + kVbA+ (к) эквивалентны (и неразличимы). А если
это так, то
с помощью калибровочного преобразования, при котором
П* (к) П11 (к) - (к) (9.41)
[т. е. Л+(к)= — 4я® (к)/й0], всегда можно получить однофотонную амплитуду
с равной нулю временной компонентой,' причем последняя амплитуда
описывает то же состояние, что и исходная2). Для такой амплитуды
х) Чтобы функция Чяц> (к), определенная равенством (9.36), получила
указанную добавку, в данном случае следует рассматривать калибровочное
преобразование с операторной функцией Л, ибо преобразование (9.40) с с-
числовой функцией Л не изменяет (к). Преобразования с операторной
функцией Л были введены в работе Ландау и Халатникова [473].—Прим. ред.
2) В классической теории это утверждение соответствует тому, что
калибровку
излучения divA = 0, <р — 0 можно получить калибровочным преобразованием
из
лоренцевой калибровки Аг ^=0.
16 с. Швебер
242
Гл. 9.. Квантование электромагнитного поля
условие поиеречности (9.37) имеет вид
з
2 fciW(k) = k-^cl>(k) = 0 (9.42)
г=1
и действительно выражает тот факт, что векторный потенциал (волновая
функция) одного фотона поперечен. Аналогично можно продемонстрировать
поперечность амплитуды для п фотонов.
Свобода в описании однофотонной амплитуды, выражаемая равенством (9.40),
а именно тот факт, что амплитуда Ч*1™ (к) -р &ДЛ+ (к) эквивалентна Ч^Дк),
означает также, что любая пропорциональная амплитуда эквивалентна нулю
(поскольку ее можно убрать калибровочным преобразованием). Таким образом,
физический смысл имеет лишь часть ЧД’ (к), ортогональная 4-вектору к^ (в
силу дополнительного условия) и не пропорциональная /сц (в силу свободы
калибровки), т. е. пространственно-подобная часть ЧДДк). Поэтому можно (и
это проще всего) взять в качестве представителя класса эквивалентных
однофотонных амплитуд амплитуду ЧД1’ (k) = ЧД’ (к) — к^ ЧД’ (k)/fc0, т.
е. амплитуду с равной нулю временной компонентой и для которой к-Чг<1>
