Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись тем, что по предположению — <С1, разложим выражение (і +Ц-) в РЯД по степеням -J-- и пренебрежем членами высших порядков малости. В результате мы придем к формуле:
р = р'(1+у-ш)-
Решим это уравнение относительно р':
Р~
_______р
1 +у
"('-''f-)'*- (88-2>
дх
Из найденного нами соотношения легко получить выражение для Ар:
А р~р'-р
') Mu воспользовались формулой вой для х < 1.
292
WaT-
1
1 +*
(88.3)
1 — х, справедлн-
вытекает, что
Поскольку Y — величина порядка единицы, из (88.3) ~ —1- Таким образом, условие
Эё ^
~г -C 1 физически означает, что отклонение давления
от среднего значения много меньше самого давления. Это действительно так: для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает
1 мм рт. ст., в то время как атмосферное давление р имеет величину порядка IO3 мм рт. ст.
Продифференцировав выражение (88.2) по х, найдем, что
др' д21 ік = -''РіФ-
Наконец, подставив найденное значение в форму-
лу (88.1), получим дифференциальное уравнение
d2S __ P д2?
дх2 ~ уP д? '
Сопоставление (88.4) с волновым уравнением (80.4) дает для скорости звуковых волн в газе следующее выражение: ____
O = j/vf (88.5)
(напомним, что р и р — давление и плотность невозмущенного волной газа).
На первый взгляд может показаться, что скорость звука в газе зависит от давления. Однако это не так, потому что изменение давления сопровождается изменением плотности газа.
При обычных давлениях поведение газов хорошо описывается уравнением
PV = -^RT (88.6)
(т — масса газа, заключенного в объеме V; ц—масса моля, численно равная молекулярному весу газа). Разделив массу газа т на его объем V, можно получить
плотность р. Разрешив уравнение (88.6) относительно
mjV, находим:
га рц
Подставив это выражение для плотности в (88.5), получим для скорости звука в газе следующую формулу:
V=Y-f1- (88-7>
Отсюда следует, что скорость звука в газе зависит о г температуры и от значений характеризующих газ величин у и (х. От давления скорость звука в газе не зависит.
Средняя скорость теплового движения молекул определяется по формуле
- _,/8ЯГ
v*°* У яц
[см, (ЮС. 17)]. Сравнение этой формулы с (88.7) дает, что скорость звука в газе v связана со средней скоростью молекул соотношением
V = Y. (88.8)
Подстановка значения \ для воздуха, равного 1,4, дает, что V ~ 3U V мол* Максимальное возможное значение у составляет 5/з. В этом случае v « 4/5 v мол. Таким образом, скорость звука в газе оказывается того же по* рядка, что и средняя скорость теплового движения молекул, но всегда несколько меньше, чем г>мол-
Оценим величину скорости звука в воздухе при комнатной температуре (при абсолютной температуре порядка 290°К). Для воздуха Y — MO. H = 29. Универсальная газовая постоянная равна 8,31 -IO3 дж/кмоль-град. Подставим эти значения в формулу (88.7):
„-/gT,/ М0-,83Ь№-2И =340 м/ст
Найденное нами значение v хорошо согласуется с величиной, полученной опытным путем. Измерив скорость звука в газе с известным молекулярным весом, можно по формуле (88.7) вычислить Y — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме. Этим приемом пользуются на практике.
Весьма существенно то, что звук не обнаруживает дисперсии, т. е. зависимости скорости от частоты. Такая зависимость, очевидно, сделала бы невозможной или во всяком случае сильно затрудненной речь и не позволила бы нам наслаждаться музыкой.
294
§ 89. Шкала уровней силы звука
Под интенсивностью звуковых воли понимают сред* нее значение плотности потока энергии, которую несет с собой волна. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости. Порог слышимости несколько различен для разных лиц
Рис. 211,
и сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1000 до 4000 гц. В этой области частот порог слышимости составляет в среднем около IO-9 эрг/см2’сек. При других частотах порог слышимости лежит выше (см. нижнюю кривую на рис. 211).
При интенсивностях порядка IO3—IO4 эрг/с.'.'}- сек волна перестает восприниматься как звук, вызывая в ухе лишь ощущение боли и давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения. Порог болевого ощущения, так же как и порог слышимости, зависит от частоты (см. верхнюю кривую на рис. 211; данные, приведенные на этом рисунке, относятся к среднему нормальному слуху).
Субъективно оцениваемая громкость возрастает гораздо медленнее, чем интенсивность звуковых волн. При возрастании интенсивности в геометрической прогрессии громкость возрастает приблизительно в арифметической прогрессии, т. е. линейно. На этом основании уровень громкости L определяется как логарифм отношения
295
интенсивности данного звука / к интенсивности /о, принятой за исходную:
L = Igf. (89.1)
Исходная интенсивность / о принимается равной IO-9 эрг/см2 • сек, так что порог слышимости при частоте порядка 1000 гц лежит на нулевом уровне (? = 0).
