Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
!(.х:, t) = a cos ш (t — т) = a cos j.
Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом:
I = a cos©(78.2)
Величина 1 в (78.2) представляет собой смещение любой из точек с координатой х в момент времени t. При
267
CO
выводе формулы (78.2) мы предполагали, что амплитула колебаний во всех точках одна и та же. В случае плоской волны это наблюдается, если энергия волны не поглощается средой.
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (78.2), положив:
(t — -^-j = const. (78.3)
Выражение (78.3) дает связь между временем (I) и тем местом (х), в котором зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив вы-
Ax
текающее из него значение , мы найдем скорость, с
которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (78.3), получим:
dt —~ dx = О,
V ’
откуда
jJf = V. (78.4)
Таким образом, скорость распространения волны у в уравнении (78.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью. І Із
(78.4) следует, что скорость волны (78.2) положительна. Следовательно, уравнение (78.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид
I — a COStO^ + . (78.5)
Действительно, приравняв константе фазу волны
(78.5) и продифференцировав, получим:
dx
откуда и следует, что волна (78.5) распространяется в сторону убывания х.
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и X вид. Для этого введем так называемое волновое число к:
л=~х. <78-6)
268
Из (77.1) и (78.6) вытекает, что между волноьыь!. числом k, круговой частотой о> и фазовой скоростью волны V имеется соотношение
Заменив в уравнении (78.2) v его значением (78.7) и внеся в скобки ю, получим уравнение плоской волны в виде
| = cos (at — kx). (78.8)
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет отличаться от (78.8) только знаком при члене kx.
Теперь Найдем уравнение сферической ВОЛНЫ; Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяжен-ностыо. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным.
В случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, порождаемая точечным источником волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна at. Тогда точки, лежа-щие на Волновой поверхности радиуса г, будут колебаться с фа5ой со (/ — r/v) (чтобы пройти путь г, волне требуется время т = r/v). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1 /г (см. § 82). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид
g-f cosш (f -?), (78.9)
где а — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины (размерность г).
Напомним, что в силу сделанных вначале предположений уравнение (78.9) справедливо только при г, значительно превышающих размеры источника. При стремлении г к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых г.
269
§ 79. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
В предыдущем параграфе мы получили уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х. Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, z углы а, р и Y- Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало коорди-& \ нат (рис. 196), имеют вид
r?(r,t) I0 = GcostoL (79.1)
Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстоянии /. Колебания в этой х плоскости будут отставать от колебаний (79.1) на время х — = llv\
Выразим I через радиус-Рис. 196. вектор г точек рассматривае-
мой поверхности. Для этого введем единичный вектор п нормали к волновой поверхности. Легко видеть, что скалярное произведение п на радиус-вектор г любой из точек поверхности имеет одно н то же значение, равное I:
nr = г cos <р = /. (79.3)
Подставим выражение (79.3) для I в уравнение
(79.2), внеся одновременно в скобки со:
I = a cos пг^. (79.4)
Отношение со/о равно волновому числу к [см. (78.7)]. Вектор
k = kn, (79.5)
равный по модулю волновому числу k = 2лД и имеющий направление нормали к волцовой поверхности, называется волновым вектором. Введя к в (79.4), получим:
I (г, t) — a cos (соt — кг). (79.6)
270
Функция (79.6) дает отклонение от положения рав-новесия точки с радиусом-вектором г1) в момент времени t,
Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, г, выразим скалярное произведение кг через проекции векторов на координатные оси
kr = h Хх + kyy + kzz.
Тогда уравнение плоской волны принимает вид
g (х, у, z; t) — a cos (tot — kxx — kyy — kzz), (79.7)
