Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
найти ускорение силы тяжести g.
§ 68. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного и того же направления, значительно облегчается и становится наглядным, если
изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.
х Возьмем ось, которую обозна-
І чим буквой X (рис. 171). Из точ-
рис |7| ки О, взятой на оси, отложим
вектор длины а, образующий с осью угол а. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью «во, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от —а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем пс закону
х — а cos (со0/ + а).
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, рав-
?38
ной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора об* разует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.
§ 69. Сложение колебаний одинакового направления
Возможны случаи, когда тело участвует одновремен-но в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различ-ных направлений. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений Xi И Х2, которые запишутся следую* щим образом:
X1 = G1 cos (a0t + Ci1), 1
/ j , \ 1 (69.1)
X2 = CL2 COS (CD0f + CU). J
Представим оба колебания с помощью векторов ai
и а2 (рис. 172). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:
X = X]+ X2.
Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же
а
Рис. 172.
239
угловой скоростью ®о, как и векторы а\ и аг, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой (о0, амплитудой а и начальной фазой а. Из построения видно, что
о2 = a2 + а2 — 2O1O2 cos [я — (а2 — а,)] =»
= а\ + а2 + 2а,а2 cos (а2 — а,), (69.2)
tgg= -fl^n3+^ (69.3)
° «і cos u, +O2COsa2
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот прием бывает особенно полезен, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.
Формулы (69.2) и (69.3) можно, конечно, получить, сложив выражения (69.1) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Ho примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью.
Проанализируем выражение (69.2) для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний a2— ai равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме O1 и O2- Если разность фаз a2 — Ki равна + я или —я, т. е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна |«і — G21,
Если частоты колебаний Х\ и X2 неодинаковы, векторы аі и а2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.
§ 70. Биения
Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях
240
можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.
Обозначим частоту одного из колебаний буквой о>, частоту второго колебания через со + Лео. По условию Am <С со. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Практически это означает,
что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент «запустить секундомер». Тогда уравнения обоих колебаний будут иметь следующий вид:
X1 = a cos at,
X2 = a cos (со + Дсо) t.
Складывая эти два выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем:
х = Xi + X2 = [2а cos^cos at (70.1)
