Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
направление.
На рис. 10 сопоставлены сумма и разность векторов А и В.
Разложение векторов на составляющие. Каждый вектор А можно заменить несколькими векторами Al, A2 и т. д., которые в сумме дают вектор А. В этом случае векторы Al, A2 и т. д. называются составляющими вектора А. Саму операцию замены вектора А несколькими векторами называют разложением вектора А на составляющие. На рис. 11 показано разложение вектора А на составляющие, имеющие направления прямоугольных координатных осей. Символами Ax, Ay, Az обозначены составляющие вектора А по осям х, у и г„ Проекция вектора на ось. Пусть нам даны вектор А и некоторое направление в пространстве (ось), которое мы обозначим, например, буквой п (рис. 12). Проведем
16
через начало и конец вектора А плоскости, перпендикулярные к направлению п. Точки 1' и 2', в которых пересекаются эти плоскости с осью п, называются проекциями начала и конца вектора А на ось п. Величина отрезка оси, заключенного между плоскостями, называется проекцией вектора А на направление (или на ось) п. Проекция вектора — скаляр. Если направление от точки 1' к точке 2' совпадает с направлением п, проекция считается положительной; в противном случае проекция отрицательна.
Проекция обозначается той же буквой, что и сам вектор, с добавлением индекса, обозначающего то направление, на которое спроектирован вектор. Например, проекция вектора А на направление п обозначается An.
Введем в рассмотрение угол вектор А с осью п (рис. 12). Проекция А, может быть вычислена следующим образом:
= Л cos ф, (2.1)
где А — модуль вектора А.
Если вектор образует с данным направлением острый угол, косинус этого угла положителен, проекция вектора также положительна. Если вектор образует с осью тупой угол, косинус этого угла отрицателен, проекция также отрицательна. Если вектор перпендикулярен к данной оси, проекция его равна нулю.
На рис. 13 показаны проекции нескольких векторов на координатные оси хну. Для этих проекций имеют место следующие соотношения:
Ax = Cjr > О, Вх< 0;
Ay = Ву> О, Су< 0.
Если вектор А образует с осями х, у и г углы a, P и у, то его проекции будут равны:
Ax = A cos а,
Ф>
Рис. 12.
который образует очевидно,
Ay = A cos р, Az = A cos у,
(2.2)
2 И. В. Савельев, т. 1
\7
Легк®, понять,, что по заданным проекциям вектора на три шердинатные оси может быггь построен сам вектор, Следовательно, вс&кий вектор может быть определен тремя числами — проекциями его на оси координат. Напомним, чт скаляр задается одним числом.
Рис. 13.
У
Рассмотрим сумму нескольких векторов E = = A + В + C+D (рис. 14). Очевидно, что
Ex = Ax + Bx + Cx + Dx, (2.3)
т. е. проекция суммы векторов на некоторое направление равна сумме проекций слагаемых векторов на т<, же направление.
18
Радиус-вектор. Радиусом-вектором точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (ряс. 15). Радиус-вектор г однозначно определяег положение точки в пространстве. Его проекции на координатные оса равны, как видно из рисунка, декартовым координатам точки:
гх = х) гу = г, T11 = Z.
(2.4)
Квадрат модуля вектора г равен сумме квадратов координат:
г2 = ^2 + у* + г2. (2.5)
Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора А на скаляр а получается новый вектор В, модуль которого в |о| раз больше модуля вектора А,
а направление совпадает с направлением А, если скаляр а положителен, и противоположно ему, если скаляр а отрицателен. Если В = аА, то B = \о,\А.
Деление вектора на скаляр b равносильно умножению вектора на скаляр а = 1/6.
Единичный ветор. Каждому вектору А может быть сопоставлен единичный вектор Аедшшчш имеющий то же направление, что и А, а по модулю равный единице. Очевидны следующие соотношения:
Рис. 15.
A= A- A1 А
единичн»
__ А_
единичн д •
(2.6)
Единичный вектор имеет также другое название—¦ орт. Модули составляющих вектора по координатным осям Ax, Ay и Az (см. рис. 11) равны модулям проекций вектора на эти оси:
IAJ = MJ,
IAу\ = \Ау\,
I Аг I = I Az |.
2*
19
Введем единичные векторы, имеющие направления координатных осей. Их принято обозначать следующим образом: единичный вектор, направленный по оси х, символом І, по оси у — символом j и по оси Z— символом к1). Векторы i, j и к называют ортами осей х, у и z соответственно.
Тогда, например, составляющую А* можно представить в виде (см. рис. 11)
Ax=AJ. (2.7}
В самом деле, модуль вектора AJ будет равен |/4ж|, т. е. і Аж і - Далее, если вектор А;с направлен в ту же сторону, что и ось х, т. е. совпадает по направлению с ортом І, то, как легко видеть из рис. 11, Ax положительна, если же Ax направлен в сторону отрицательных х, т. е. противоположно вектору i, Ax оказывается отрицательной, так что вектор /4Лі имеет направление, противоположное і и, следовательно, совпадающее с направлением вектора Ax.
Для двух других составляющих Ay и Аг можно написать выражения, аналогичные (2.7)
Ay = AyI A2 = Az к.
Поскольку вектор А равен сумме своих составляющих, можно написать:
