Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
является корректным обобщением поля А\ (с законом преобразования (3.120))
на случай калибровки, отличной от (3.118). Нетрудно также построить
обобщение поля W11. С этой
целью в каждой точке х Е М4 выберем пару изовекторов е\ и
е", которые совместно
с Фа образуют ортогональный базис во внутреннем пространстве. Определим
теперь, аналогично (3.129), поля А"е[ и А"е2а и рассмотрим их закон
преобразований относительно (3.128). Имеем
Тга'"е) = Tr (A^'eh) + ^ Тг [(Л^Л-1) е] ,
и ввиду ортогональности е" 2Фо = 0 получим
е'аА'" = е'аА" cos f + eaAl sin /, el А'? = sin / + е^" cos/.
Таким образом, комплексное поле
W^elAl+iel (3.131)
под действием группы Н испытывает фазовое преобразование
W^W'^ eifW)1,
т. е. описывает заряженные частицы, взаимодействующие посредством Ам.
Итак, суммируем некоторые выводы. В модели Янга-Миллса-Хиггса со
спонтанным нарушением симметрии до Н = 17(1) существует сектор, связанный
с абелевым калибровочным полем Ац группы точных симметрий. Можно поэтому
предположить, что на больших расстояниях эта система будет обнаруживать
(в конкретных классических решениях) "электромагнитные"свойства. Что
касается нейтрального хиггсовского поля Ф и заряженного векторного поля
W^, то наличие у них массы (вследствие механизма Хиггса) позволяет
ожидать их нетривиального поведения только на масштабах длин порядка тГ1
и М~'. На больших расстояниях Фи быстро стремятся к своим вакуумным
значениям. Точные решения уравнений поля (3.114)-(3.116), рассмотренные
ниже, полностью подтверждают эти качественные выводы. Однако, прежде чем
мы приведем конкретные решения, необходимо уточнить описание
электромагнитных свойств модели.
Электромагнитное поле в модели Полякова-т'Хуфта
В теории Максвелла наблюдаемыми физическими величинами являются
электрическое и магнитные поля, составляющие тензор напряженности .
Определим аналогичный объект в описанной выше модели. Нетрудно видеть,
что диА" - д^А^ не подходит
§ 7. Магнитные монополи
159
на роль тензора напряженности, так как меняется при калибровочных
преобразованиях по закону
d^Al = д^А" + . (3.132)
Последние два слагаемых исчезают при ш = h в силу (3.130), однако в общем
случае ш G G(X) они отличны от нуля. Это означает, что не является на-
блюдаемой величиной. Однако в теории присутствуют также хиггсовские поля,
и с их помощью неинвариантные члены в (3.132) можно скомпенсировать.
Действительно, рассмотрим величину
Тг(Фс>мФД,Ф) =-~?аЬсФад^ФьдЛс-
Этот тензор антисимметричен по /х, v и имеет закон преобразования
(относительно Ф -> Ф' = (дФоГ1):
тг (Фд"Фд"фУ = тг (Фд"Фд"Ф) + Х-а"тг [(ы^аг1) ф] - 1 тг [(^"ог1) ф] .
Следовательно тензор
Гг^дрАг-д^ + ^ФдцФдЛ) (3.133)
является калибровочно инвариантным относительно G(X). Эту физическую
наблюдаемую (введенную впервые в несколько иной форме т'Хуфтом) мы и
отождествим в модели Янга-Миллса-Хиггса с электромагнитным полем.
Хорошо известно, что система уравнений Максвелла в вакууме
д^ = о, = о, (3.134)
где F*v = 3 ?t,l/al3Fc'13, симметрична относительно так называемых
преобразований дуальности *-+ F*", т. е. замены электрического поля Е{ -
Fi0 на магнитное
В1 =l-?i3kFjk, (3.135)
и наоборот. Однако в присутствии источников, описываемых электрическим
током j", система (3.134) перестает быть дуально симметричной, поскольку
первая половина уравнений Максвелла модифицируется:
= f. (3.136)
Магнитный заряд
Дирак заметил, что можно восстановить дуальную симметрию полных
уравнений, если предположить существование в природе магнитных зарядов,
которые порождают магнитный ток так, что вторая половина уравнений
приобретает вид
/г", (3.137)
160
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Из (3.136)-(3.137) видно, что оба тока имеют нулевую дивергенцию
= о =
(3.138)
так, что соответствующие заряды
/
cfxf, р = / йъхкй
/
сохраняются во времени. Интегрируя временные компоненты уравнений
(3.136)-
(3.137), с помощью теоремы Гаусса можно выразить полные электрический е и
магнитный //. заряды через потоки соответственно электрического и
магнитного полей через пространственную границу :
Основной трудностью теории Дирака является тот факт, что левая часть
(3.137) тождественно обращается в 0, если существует всюду регулярный
вектор-потенциал А;1, для которого
Поэтому в присутствии магнитных зарядов потенциал Alt с необходимостью
должен быть сингулярным. Причем его сингулярности расположены на луче,
начинающемся на магнитном заряде и уходящем в бесконечность. Все
сказанное относится, однако, к стандартной теории Максвелла, в которой
источники - точечные частицы и энергия классических решений бесконечна.
Возвращаясь к модели Янга-Миллса-Хиггса, отметим, что электромагнитный
сектор в ней является частью более общей нелинейной системы (3.114)-
(3.116). При этом группа Н = 17(1) возникает как подгруппа точной
симметрии в рамках механизма спонтанного нарушения G = .917(2) симметрии,
что позволяет определить эффективное электромагнитное поле, описываемое
