Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Понтрягина и классами Чженя многообразия с почти комплексной структурой
В частности,
р{ = с, - 2с2, р2 = с2 - 2с,с3 + 2с4,
(3.65)
или, используя принцип расщепления,
Pi
*|<*2
Пример 3.5.9. Многообразием с почти комплексной структурой является
всякое пространственно-временное многообразие X4. Это 4-мерное
ориентируемое многообразие, на котором задана некоторая псевдориманова
метрика д. Такая метрика существует тогда и только тогда, когда
структурная группа GL(4, К)-расслоения ТХ4 редуцирована к группе Лоренца.
Группа Лоренца 50(1, 3), как известно, принадлежит образу группы SL(2, С)
в GL+(4, К) (SL(2, С) является двулистным накрытием над 50(1, 3)).
Редукция структурной группы расслоения ТХ4 к группе Лоренца означает, что
ТХ4 ассоциировано с некоторым SL(2, С)-расслоением, а следовательно, с
SU(2)-расслоением. Поэтому наряду с классом Понтрягина Pi(X4)
пространственно-временного многообразия X4 определены его классы Чженя
С[(Х4) и с2(Х4), связанные с р,(Х4) соотношением (3.65). Однако,
поскольку класс Чженя С[ для SU(2)-расслоений равен нулю (см. Пример
3.5.5), класс с,(Х4) тоже равен нулю. ?
Если структурная группа 0(к) -расслоения Л редуцирована к SO(k), для
такого расслоения определен класс Эйлера е(А). Он может быть построен
аксиоматически как элемент группы Hk(X, Z), обладающий следующими
свойствами:
В1) 2е(А) = 0, если к нечетно;
В2) е(Г А) = Г е(А);
ВЗ) е(А(r) А') = е(А)е(А');
В4) е(А) = с^А), если к = 2. (3.66)
Последнее свойство обусловлено изоморфизмом групп 50(2) и 0(1).
Установим теперь связь класса Эйлера с классами Понтрягина и Чженя. Пусть
А - XJ(k)-расслоение над X и р(А) - SO(2k)-расслоение над X. Тогда,
применяя принцип расщепления и свойства (ВЗ) и (В4), получаем
е(р(А)) = e(p(L,) (r) ... (r) p(Lk)) = e(p(L,)) • • • e(p(Lk)) = = с,¦ ¦ ¦
Ci(Lk) = ar-ak = ck(A).
В свою очередь, из (3.64) следует, что
Pk(pW) = cl(pW), и, таким образом, для всякого SO(2k)-расслоения
(3.67)
е(А) = [р*;(А)]1/2,
(3.68)
142
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Исходя их этого соотношения, можно построить характеристическую форму
Эйлера для 5C?(2fc)-расслоений. Из свойства (В.1) следует, что форма
Эйлера для SO(2k + 1)-расслоений должна быть когомологична нулю.
Пример 3.5.10. Пусть X4 - ориентируемое многообразие. Тогда структурная
группа касательного расслоения ТХ4 редуцирована к 50(4). Определим форму
Эйлера для ТХ4, выбрав в качестве F форму кривизны R некоторой римановой
метрики на X4. Воспользуемся соотношением (3.68), найдя
Заметим, что при смене ориентации X4 форма Эйлера меняет знак.
В заключение укажем еще на классы Штифеля-Уитни wt G Н'(Х, Z2)
касательного расслоения над многообразием X. Так, многообразие X является
ориентируемым тогда и только тогда, когда wx = 0, а если X допускает
почти комплексную структуру,
В отличие от ранее рассмотренных характеристических классов классы
Штифеля-Уитни не представимы как когомологические классы каких-либо
характеристических форм.
Инстантонами называются регулярные решения классических уравнений Янга-
Миллса в евклидовом пространстве-времени, на которых функционал действия
принимает конечное значение. Интерес к решениям уравнений различных полей
(не только в калибровочной теории) в 4-мерном пространстве М с метрикой
евклидовой сигнатуры 6pV = diag(+l, +1, +1, +1) связан с их
интерпретацией при квантовании как процессов туннелирования между
состояниями, разделенными классическим барьером. Мы ограничимся здесь
простейшими инстантонами для группы SJJ(2).
- 1-форма связности на 5?/(2)-расслоении над М. Удобно выбрать базис ta
алгебры Ли группы SU(2) в виде антиэрмитовых 2 х 2-матриц
V 2 =
32тг2
из разложения (3.59). В результате
(3.69)
?
w2i+i = Oi w2i - ci mod 2.
§6. Инстантоны
Пусть
А(х) = Ар dxu = Aapta dx**
г
2 та> ^ 3 ? 2 j 3 3
где та - матрицы Паули; ta удовлетворяют соотношениям
ta^b ?аЬс^с>
1
tatb "Г 2 >
(3.70)
Tr(Ub) - ~<U.
§6. Инстантоны
143
Отметим, что ta являются образующими элементами алгебры так называемых
кватернионов Q, которые можно представить как 2 х 2-матрицы вида
Q = Qo<r° + Q\<?' + Q101 + Qi<r3 = Q^, (3.71)
где <т'1 - обобщенные матрицы Паули
а=\, <т" = -2t", а= 1,2,3,
a - комплексные числа. Вещественные кватернионы имеют действительные
коэффициенты , р = 0, 1, 2, 3, а подалгебра чисто мнимых кватернионов,
для которых Q0 = О, совпадает с алгеброй Ли группы 5(7(2).
Сопряженным к Q кватернионом считается Q = Q+. При этом
5-° = сг° = 1 va = -(Ta = 2ta, а= 1,2,3,
и имеют место следующие соотношения:
- <5М1Л + ,
<+) л
(3.72)
(±)
где V - так называемые тензоры т 'Хуфта
<-)
<+>
Vx^ ^Xv^oц 6^6*, 3" ^ол/ii/)
(3.73)
а - полностью антисимметричный тензор Леви-Чивита в евклидовом простран-
0123 ^
стве, т. е. ?0ш = ? =1- Легко установить, что Vo^ = 0 и существенными
компонен-
(±)
тами являются только Vailv, а = 1,2, 3. Причем
(±) <±> х
аЬО ^аОЬ Л^аЬ) I 74)
^abc - ^abci а, Ь, С 1, 2, 3, J а из (3.73) следует самодуальность
