Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
связность на расслоении (2.27) в виде
г = dxx (r) [<Эд + + kTiJrfdi]
78
Глава 2. Геометрическая теория поля
Общее конфигурационное пространство материальных и калибровочных полей
является произведением их конфигурационных пространств
j'(CxY) = JlCxJlY. (2.28)
х х
Соответственно полный лагранжиан L на этом конфигурационном пространстве
представляет собой сумму лагранжиана Янга-Миллса (2.21) и лагранжиана
материальных полей (2.25), в котором однако связность (2.26) заменена на
связность
Г'л = Kljtf.
Такой лагранжиан является инвариантным относительно калибровочных
преобразований.
Заметим, что в калибровочной теории рассматривается несколько
разновидностей калибровочных преобразований. Это преобразования атласов
главных и ассоциированных расслоений, калибровочные изоморфизмы (1.83)
главного расслоения Р -* X над тождественным преобразованием базы X и
общие изоморфизмы главного расслоения над диффеоморфизмами базы. В
калибровочной теории внутренних симметрий достаточно ограничиться первыми
двумя типами калибровочных преобразований. Они связаны между собой
следующим образом.
Пусть дан атлас {z^(x)} главного расслоения Р. Всякий калибровочный
изоморфизм Фр (1-83) главного расслоения Р определяет новый атлас
расслоения, задаваемый семейством локальных сечений
zfa) = Z'{x)f;\ze(x)), x?U(. (2.29)
Нетрудно проверить, что оба атласа имеют одни и те же функции перехода.
Обратно, для любых двух карт ({/?, z()n (U(, z[) на одной и той же
области тривиализации U( существует локальный калибровочный изоморфизм
над U( такой, что выполняется соотношение (2.29). Это означает, что по
крайней мере локально на областях тривиализации главного расслоения имеет
место взаимно однозначное соответствие между двумя рассматриваемыми
типами калибровочных преобразований. Более того, в расслоенных
координатах они задаются одними и теми же координатными преобразованиями.
Все это справедливо и для ассоциированных расслоений. Поэтому условия
инвариантности лагранжиана относительно как преобразований атласов
расслоений, так и калибровочных изоморфизмов эквивалентны.
Калибровочные изоморфизмы (1.83) главного расслоения Р образуют группу,
которая изоморфна группе глобальных сечений группового расслоения Р из
Примера 1.7.6. Она называется калибровочной группой. Не вдаваясь в
детали, отметим, что эта группа может быть пополнена до банаховой
(бесконечномерной) группы Ли. Элементам ее алгебры Ли (Tf соответствуют
фундаментальные вертикальные векторные поля на главном и ассоциированных
расслоениях. Отсюда условие калибровочной инвариантности лагранжиана L на
конфигурационном пространстве (2.28) состоит в том, что
= 0 (2.30)
для любого локального фундаментального векторного поля на С х Y.
Явное выражение для локальных фундаментальных векторных полей и^. можно
получить, трактуя их как своего рода генераторы инфинитезимальных
калибровочных изоморфизмов. Так, на ассоциированном с Р векторном
расслоении всякое такое поле
имеет вид
= am(x)Im'jyidi,
§3. Гамильтонов формализм
79
где 1т - генераторы структурной группы G, действующей на типичном слое V,
и ат{х) - произвольный локальные функции на X. Оно отвечает
инфинитезималь-ному калибровочному изоморфизму
у' -> у + tamjyJ,
где t - малый групповой параметр.
На расслоении связностей С фундаментальные векторные поля даются
выражением
Urff = + С<*?а"((r))] д(tm)-
Соответственно на произведении С х Y они принимают форму
X
(А\ г" т , A m \ г" /л m , mil п\ ли . т Т г j г"
ит дха +ита ) дА = (д^а + сп1к^а ) дт + a Im tf д{,
где мы использовали коллективный индекс А. Подставляя это выражение в
условие калибровочной инвариантности (2.30), получаем тождество, которое
должно выполняться при произвольных функциях ат(х). Отсюда, приравнивая
нулю соответствующие выражения, приходим к системе равенств
ui (дА - д,дхА) з? + д^ [utd\2') = о,
{дА - д,дхА) 3* + дл + *tPA3* = о,
тСд^зг + ч%&Азг = о,
которые на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа воспроизводят известные
тождества Нетер
-^j(uidxA3')* о,
ахА
ахх
и*хд'ХЗ* + и%'дА3* = 0
для калибровочно инвариантного лагранжиана L.
В частности, доказано, что лагранжиан Янга-Миллса (2.21) является
единственным квадратичным калибровочно инвариантным лагранжианом
калибровочных потенциалов.
§3. Гамильтонов формализм
Лагранжианы большинства фундаментальных полевых моделей, включая
калибровочные поля, фермионные поля, гравитацию и др., не являются
регулярными. В случае вырожденного лагранжиана соответствующие уравнения
Эйлера-Лагранжа оказываются недоопределенными, поскольку старшие
производные полевых функций, как это видно из алгебраических уравнений
(2.7), не выражаются однозначно через их младшие производные. Возникает
необходимость в дополнительных уравнениях. В калибровочной теории такими
уравнениями оказываются хорошо известные калибровочные условия. Однако в
общем случае (например, для поля Прока) неясно, как задавать подобные
добавочные условия.
