Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (3) можно записать в виде
cra = arctg(--p-J + кл (к - целое число).
Поскольку
sin era
ha
Vl+ctg2cra *\]a2a'2 '\j2m\Vn
окончательно имеем
aa = k л - arcsin
ha
^2mW0
(4)
Это трансцендентное уравнение, которое определяет о, а тем самым и W,
можно решить графически путем нахождения
%
0
ОО
Фиг. 60.2
а х
Фиг. 60.3
пересечения линии у - аа с кривой (фиг. 60.2)
ha
у = кл - arcsin
л/2 /и Г о
Как видим,' энергия является квантованной. Когда W <С Т^о, то есть когда
а <С о', уравнения (3) и (4) имеют решение
и значения энергии
аа = кл,
kWh2
2та2
(5)
Снова получены энергетические уровни для частицы в потенциальном ящике,
что вполне естественно, поскольку малость величины W по сравнению с W0
эквивалентна заключению интервалов а между бесконечными потенциальными
стенками.
ЗАДАЧА 60 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 299
При заданных численных значениях энергетические уровни
(5) имеют значения
Ц7(о) = = k9 43,56- 10 68 - = к2 • 6,82 • 10~22 Дж,
8та2 8 • 5 • 10 • 0,16 • 10" 0
в то время как
Г0 = 0,20 • 1,6 • 10~19 = 3,2 • Ю~20 Дж.
Таким образом, сделанное приближение W Г0 является неплохим. Лучшее
приближение достигается с помощью (3). Так как член с правой стороны мал,
можно принять
п<°> ^
а(1) _ а(0) 2________
а а а' <°>а '
откуда
г,п _ fiV'" 2 _ Й2а<°> 2 2йУ> <2> __ г m 21^>
2т 2т 2то' (0*а а' *0,а
Это выражение соответствует потенциальной кривой на фиг. 60.3, для
которой Wp = оо при х - 0 и которая имеет бесконечную ширину барьера
высотой W0.
II
Уравнение (2) записано в конкретной для этой задачи форме. Считая, что аа
мало, можно сделать такое же приближение, как ив (6):
"(0)
а<2> = а"> 4=2-^ ехр (-а'<<"&), (7)
а v'а
откуда
г(2) = Г<'> =F ехр (- а' Щ). (8)
Последний член определяет расщепление энергетических уровней. Величина
расщепления первого уровня (к = 1) равна
8Ц7<0)
АГ(12) = ^гехр(-а'(0)6). (9)
а а
При
HsWf = he Av, где Av = 0,8 • 102 м"', необходимо, чтобы
, , о' (0,"Лс Av л/2т (Wn - 2nahc Av
ехр (- а (0Ш) =----------------(tm)- = --------------------- ,
^ 8 8я Г(,0)
1 пп\и\ V3,2 • 10-46 • 3,14 • 0,4 • Ю-10 • 3 • 108 • 0,8 • 102
ехр (- а Щ) =----------------------------------:-------------------------
-------гг-:--
4 • 6,82 • 10
1,98 • 10-2"
300
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 60
откуда
Поскольку
имеем
т' W) =
о' <% = 3,92.
У3,2 • 10"46 • 6,28
'6,6 • 10 -11
1,7- 10й,
= 2,3 -10 11 м или
0,23 А.
Расщепление второго уровня равно
AIT,
8Й7<0)
а (0)а
ехр (- o' (%).
WT имеет малую величину по сравнению с W0. Поскольку
W
(0).
2ту7(0) ____
4W
(0)
1 >
расщепление второго уровня в четыре раза больше, чем первого, и
составляет 3,2 см-1.
III
Молекула NH3 имеет форму пирамиды с треугольным основанием. Если атомы Н
пронумеровать, можно видеть (фиг. 60.4), что при инверсии относительно
центра масс новую молекулу уже нельзя совместить с исходной посредством
поворота или
Н,
Н,
Н2 Н3
1\уН*''Нз
N
Фиг. 60.4
перемещения. Это приводит к двум различным молекулярным модификациям и к
двум одинаковым минимумам энергии для двух разных положений атома N
относительно плоскости, в которой располагаются атомы водорода. Таким
образом, в этой задаче рассматривается общий случай с более точной
потенциальной кривой, приведенной на фиг. 60.5. Однако ее трудно решить.
Принятое выше значение 0,8 см-1 для расщепления первого энергетического
уровня как раз равно найденному для NH3. Наблюдаемый между этими уровнями
переход является дипольным, и с ним связано поглощение при X = 1,25 см.
ЗАДАЧА 61
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
301
Для ND3 форма потенциальной кривой такая же, как для NH3. Если происходит
удвоение значения т, значение а<0) умножается на V2, a делится на 2.
Значение -о'тЬ изменяется от 3,92 до 3,92 • л/2 - 5,04 и ехр(- а'{0)Ь) =
0,64-10~2. Уравнение (9) показывает, что значение Да делится
приблизительно на 9.
Для РН3 предполагаем, что ширина барьера b остается неизменной, но высота
W0 умножается на 3, тогда значение а'<°> умножается на л/?> и ехр(-а'<%)
= 0,11 • 10~2, а уравнение (9)," где изменяется только а,(0>, показывает,
что значение Да уменьшается приблизительно на 0,03 по сравнению со
значением для NH3. Полный расчет затруднителен.
ЗАДАЧА 61
Операторы углового момента
Одноэлектронная волновая функция для состояния / = 2, т = 2 записывается
в виде
Фпгг = с/ (г) sin2 0 ехр (2/ф),
где с - постоянная. Функция f(r), являющаяся радиальной частью волновой
функции, зависит от главного квантового числа п и не является
существенной в этом случае. Покажите, что хр"22 является собственной
функцией операторов Gz и G2, а не операторов Gx и Gy (G - угловой
момент).
РЕШЕНИЕ
1. Оператор Gz можно записать в виде -jfi(d/d<р), откуда
ДгФ"22 /^ ~Зф == /^^/Ф/г22== 2ЙфП22-
Таким образом, ф"22 является собственной функцией Gz с собственным
значением 2Ъ.
2. Оператор G2 определяется формулой
= - й2 [дуё ДГ (sm 0 1йг) + 1^] •
<?2Фп22 _
Имеем
Зф2
d'<S?tl22
<?е
= 4ф"22>
= 2с/ (г) sin 0 cos 0 ехр (2/ф),
