Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
некоторого распределения также является распределением.
Замечание. Частный случай периодической и ограниченной функции (или
распределения) легко можно рассмотреть, пользуясь предыдущими
результатами. Можно всегда принять, что ограниченная функция (или
распределение) является произведением некой функции - g(x) на
периодическую неограниченную функцию (или распределение) (фиг. А.15).
Наиболее известной функцией g(x) является функция щели.
Если
h'(х) - h (х) • g (х) (положительный порядок должен быть
сохранен), (75)
H'(u) = H(u)(r)G(u), (76)
+°°
H'{u) = F(u)- ?б("-}) -G(u). (77)
1. Функция щели
¦Пх)
1
-cr/2 0 +а/2
Фиг. А. 1, а
f (*) = 1
для - а/ 2<х< а/2 Цх) - О для х < - а/2 и х> а/2 Д х = а
Фиг. А. 1,6 sin nua
F(u)
Да =-
nua
1
2. Функция Г aycca
f (*)=*'
Фиг. А. 2, 6
+ оо
F(U)>
Для строгого доказательства обратитесь к математическим ссылкам.
Принимается Z = х - ju и предполагается, что / - постоянная;
+оо
F(u) = e-""2 ^ e~nZ'dZ;
производя замену переменной я22 = А2, получаем
+ оо
( е~х'
J Уя
- оо
Поскольку X и Y -независимые переменные, можно установить:
+ оо +оо
[F (ц)]2 =- *гсц ^ ^ е~(Х''+у1) dX dY.
- ОО -оо
Вычисляя поверхностный интеграл в полярных координатах, имеем
оо 2Л со
^-2310' ср. р
[f (u)\2 = --- \ \ е"р'р dp dQ = 2я"а \ e~Q2d (р2) =
0 0 о
= _ е-2я"' [е-р2]" _ е-2шН
! (х) = е-**2, F (и) = е~яи'.
В более общем случае;
F(u) = e~(tm)'u\
Таблицы
шяние пространственных размеров источника адача 3)
Да•Ах = 1
шяние размеров щели на дифракционное изо-1ажение (задача 35)
Дх • Дм == 1
шяние ширины энергетического уровня на время язни волнового пакета
(задача 71)
ДГ • Д* = 1
шяние неопределенности импульса на положе-ie частицы (задача 57)
Др • Дх = h
эедшествующие приложения можно также осмотреть с помощью кривой Гаусса
П родолжение
3. Ограниченная косинусоида 'Пх)
-а/2
+ а/2
Фиг. А. 3, а
/ (я) = cos 2яи0х для - а/2 < х < а/2
F(U):
sm л (и + Un) a sin л (и
¦ иА а
л {и + а0) а
л (и - ц0) и
Идеально монохроматический волновой цуг конечной длительности дает
спектральную линию конечной ширины. Центр линии соответствует частоте v0,
ширина линии равна 1/т, где х - время жизни волнового цуга (задача 3).
Подобным же образом при ширине волнового цуга Дх находим Дст-Дх=1
4. Ограниченная синусоида fix)
-а/2'
Фиг. А. 4, а
f (х) - sin 2ли0х для - а/2 < х < а/2
А /Пи) + и°-
-и0 0 *'0 Г** " Ц
F(u)
Фиг. А. 4, б
I [ sin я (а + ар) а ; (и + и0) а
I Г sin j
- / L л (
sin я (а - ар) а 1 я (и - "о) а J
Синусоидальная и косинусоидальная системы приводят к образованию только
двух спектров (задача 35)
402 ПРИЛОЖЕНИЕ А
5. f (x) - 1 + cos 2nu0x для - a/2 < x < a/2
Фиг. A. 5, a
1/2_
X
F(u)
Va
I
F (a) ^
"о U 0
Фиг. A. 5, 6 sin nua , 1 sin n (u + u0) a (
' + ~ _ ". .. v r
nua 1 sin
n (u + u0) a
+ ¦
n я (" - u0) a T n (и - и a) a J
6. Щели Юнга
p/2 0
fix)
+p/2
Фиг. A. 6, a
Две идентичные щели шириной а и расстоянием между ними j
Es 2
sin nua f (u) - ----------------------------cos яры
При прохождении через решетку {(je) дает три неодинаковых спектра
г -.
1/р 1/а и
Фиг. А. 6, в IF' (")12 = j IF (и)]2 (1 + cos 2при)
Т
7. Три идентичные щели
О
Фиг. А. 7, а Г (х) = (х) + (* + р) + / (* - р)
Фиг. А. 7, б f' (") и F (u) [1 + 2 cos 2яр"]
8. АГ идентичных щелей (решетка) ЛГ-1
/'(•*) = X Нх + пр)
п=О
У ' N \
\
1/1%. \ \
\
л
0 1/р 2/р 3/р
f' (и) " f (и)
Фиг. А. 8
sin Nnpu
sin при
Продолжение
Можно сравнить три графика, представляющих [F' (и)]2 в пунктах 6, 7 и 8:
модуляция функцией F (и) одна и та же,
положение спектров одно и то же,
ширина спектров зависит от количества щелей
404 ПРИЛОЖЕНИЕ А
9. Круговая функция
для х2 + у2 - г2 < а2
10. Импульс Дирака
., Six)
О ~*х Фиг. А. 12, а
Функция Эйри Если и2 + v2 = р2
/1 (2яр а)
F (р) = 2 -
2яра
См. задачу 36
Соотношения неопределенности Если одна переменная имеет абсолютно опре-
дги^ деленное значение, то сопряженная с ней пере-
' менная полностью неопределена. Можно рас-
I_________ смотреть примеры, данные на фиг. 1
О и
Фиг. А. 12, 6
о
сл
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Ряд Дирака
LS{x-kp)
О р \ Зр х 2р
Фиг. А. 13, а
Продолжение
бесконечно бесконечное
• ?5(а-§) узкие щели число линий
. f f f Решетка ' период ре- -^ спектР интервал
t t t ' шетки р Мрб
1/р 2/р 3/р и ширина оо Бесконечно резкий
Фиг. А. 13, б
12. Неограниченная периодическая функция
i f(x)
Мх) X
Фиг. А. 14, а
Решетка
ширина щели а
период решетки р
длина оо
спектр
модулированный с периодом 1/а интервал 1/Р
бесконечно
резкий
Фиг. А. 14, б
13. Ограниченная периодическая функция
,{g(x)xh(x)
Фиг. А. 15, а к (х) = f (х) (r) ? 6 (х - кр) h' (х) = g (х) ¦ h (х)
О 1/р Фиг. А. 15, 6
Н' (и) = Н (и) 0 G (и)
Решетка
ширина щели а
период решетки р
длина L
спектр
модулированный с периодом 1/а
интервал
1/Р
\ ширина 1/L
Эти результаты можно сравнить с результатами, полученными на фиг. А. 8
,406 ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
