Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
geodesiques", J. Math, pures et appl. 4 (1898): 27-73, перепечатано в
Oeuvres de Jacques Hadamard (Paris: CNRS, 1968), vol. 2, pp. 729-75.
Обратите внимание, что оригинальная работа Адамара уже содержит явное
замечание о том, что если в начальных условиях присутствует хоть какая-то
ошибка, то долгосрочное поведение системы предсказать невозможно.
2. Проще всего изучать компактные поверхности постоянной отрицательной
кривизны. (Их единственный недостаток, в отличие
t
о
Глава 8. Адамар, Дюгем и Пуанкаре
168
Примечания
от поверхности Адамара, состоит в том, что их невозможно реализовать в
трехмерном евклидовом пространстве.) Вы, вероятно, помните постулат
Евклида, что через точку, не лежащую на прямой линии, проходит одна и
только одна прямая, параллельная данной. И, кроме того, вам известно, что
можно построить неевклидовы геометрии, в которых данный постулат не
подтверждается. В частности, в плоскости Лобачевского существует
множество прямых, параллельных данной и проходящих через точку, которая
на ней не лежит. Следовательно, в плоскости Лобачевского, две точки,
которые движутся прямо по параллельным линиям, обычно удаляются друг от
друга! Бильярд с постоянной отрицательной кривизной получается при
отрезании куска плоскости Лобачевского и склеивании ее краев с целью
образования гладкой замкнутой поверхности (такая возможность, безусловно,
требует доказательства). Тогда не так уж сложно поверить, что на подобном
бильярдном столе прямолинейное движение выказывает чувствительную
зависимость от начальных условий.
3. На французском языке этот раздел называется "Exemple de deduction
mathematique a tout jamais inutilisable". Он есть в книге П.Дюгема La
theorie physique: Son objet at sa structure (Paris: Chevalier et Riviere,
1906). Эту ссылку подсказал мне Рене Том.
4. Н. Poincare, Science et Methode (см. прим. 3 к главе 2). Об этом же
идет речь в главе 4, "Le hasard" (Случайность).
5. Маленькие причины могут иметь большие следствия, даже в отсутствие
чувствительной зависимости от начальных условий. Большое следствие может
иметь место после очень длительного ожидания, как замечает Пуанкаре.
Другим интересным случаем являются системы с несколькими состояниями
равновесия. Может оказаться очень сложным определить, какие начальные
условия, в конечном счете, приведут к тому или иному состоянию
равновесия. Это происходит, когда границы бассейнов притяжения различных
состояний равновесия очень изогнуты, как это часто бывает. Простым
примером является магнитный маятник - небольшой магнит, подвешенный на
жестком стержне над несколькими другими магнитами. Если такой маятник
толкнуть, то он начинает совершать сложные колебания, причем трудно
догадаться, в каком положении равновесия он остановится (обычно
существует несколько таких положений). Изображения изогнутых границ можно
увидеть, например, в работе S. McDonald, C.Grebogi, E.Ott, and J.Yorke,
"Fractal basin boundaries" /Фрактальные границы бассейнов/ Physica 17D
(1985): 125-53.
Примечания
169
Пуанкаре также замечает, что то, что мы называем случайностью может
возникнуть от недостатка у нас достаточного контроля над своими
мускулами, и приводит пример игры в рулетку. Точно также можно говорить и
о подбрасывании монетки; некоторые натренированные люди способны
подбрасывать монетку с полностью предсказуемым результатом.
Глава 9. Турбулентность: моды
1. "Маленький "гравитационный" Доктор": эту историю рассказал мне
Джордж Уленбек, а другие факты о Т. Де Донде - Марсель Демер.
2. Множество данных об очаровании, лежащем у корней научной работы,
можно собрать, беседуя с учеными. Интерпретация этих данных была бы делом
весьма деликатным, но могла бы дать новое понимание психологии научного
открытия. Ученые, выжившие из ума, были бы особенно интересны для такого
изучения в силу большей прозрачности их мотиваций. (К сожалению, многие
люди теряют интерес к науке в очень раннем возрасте, и во всем остальном
остаются абсолютно нормальными людьми. Однако мне знаком, по крайней
мере, один совершенно фантастический экземпляр великого физика, суждение
которого о повседневных вопросах было явно неадекватным, но как только он
заговаривал о науке, то снова становился великим и говорил абсолютно
вразумительно.)
3. J. Leray, "Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant
l'espace", Acta Math. 63 (1934): 193-248.
4. H. Poincare, Theorie des tourbillons (Paris: Carre et Naud, 1892).
Имеется русский перевод данной книги: А. Пуанкаре "Теория вихрей" (РХД,
2000 г.)
5. P. Cvitanovic, Universality in Chaos /Универсальность в хаосе/,
(Bristol: Adam Hilger, 1984); Hao Bai-Lin, Chaos /Хаос/ (Singapore, World
Scientific, 1984). Для популярного представления см. J. Gleik, Chaos (New
York: Viking, 1987). Это легко читаемое журналистское повествование,
однако ему не всегда можно доверять в том, что касается вопросов
исторической точности или научного приоритета. Превосходной вводной
