Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
обычно разделяются экспоненциально в течение некоторого времени, потом
один шар ударяется о препятствие, которое другой пропускает, и с этого
момента два движения теряют любую связь друг с другом. Если честно, то я
должен упомянуть, что существуют исключительные начальные условия для
"воображаемого" шара, такие, что движения двух шаров не разделяются
экспоненциально; например, воображаемый шар мог бы следовать за реальным
по траектории последнего, но отставая на один миллиметр. Однако подобные
случаи являются скорее исключением, и обычно две траектории расходятся,
как и утверждалось выше.
Прежде чем закрыть эту тему, мне хотелось бы подчеркнуть, что выше я
представил лишь эвристическое рассмотрение бильярда. Это означает, что я
выразил все правдоподобным образом, но не привел доказательства. Важно же
иметь возможность в тех же самых рамках осуществить идеально строгий
математический анализ бильярда с выпуклыми препятствиями. Этот анализ
(проведенный русским математиком Яковом Григорьевичем Синаем2, за которым
последовало еще несколько других математиков) определенно сложен. В
общем, математическое рассмотрение систем с чувствительной зависимостью
от начальных условий не просто, чем, возможно, объясняется тот факт, что
физики заинтересовались такими системами сравнительно недавно.
Глава 8
АДАМАР, ДЮГЕМ И ПУАНКАРЕ
Я надеюсь, что в предыдущей главе убедил вас в том, что в бильярде с
выпуклыми препятствиями происходит нечто странное. Допустим, что я
немного изменил начальные условия, заменив "истинное" положение шара и
направление удара несколько отличным "воображаемым" положением и
направлением. Тогда "истинная" и "воображаемая" траектории движения,
которые сначала располагаются очень близко друг к другу, впоследствии
расходятся все быстрее и быстрее, пока не утратят какую бы то ни было
связь друг с другом. Именно это мы и назвали чувствительной зависимостью
от начальных условий. С концептуальных позиций это очень важное открытие.
Движение нашего бильярдного шара точно определено начальными условиями,
но при этом в предсказании траектории существует фундаментальное
ограничение. Мы имеем детерминизм, но параллельно с ним и долгосрочную
непредсказуемость. Так происходит потому, что мы знаем начальные условия
с определенной неточностью: мы не можем отличить "истинные" начальные
условия от множества "воображаемых" начальных условий, которые очень
близки к истинным. А потому мы не знаем, какое из возможных предсказаний
правильно. Но если движение бильярдного шара непредсказуемо, что мы можем
сказать насчет движения планет? эволюции погоды? судьбы империй? Все это
очень интересные вопросы, и, как мы увидим впоследствии, на них можно
дать разные ответы. Движение планет можно предсказывать на века, а
эволюцию погоды прогнозировать максимум на одну-две недели, если мы
хотим, чтобы наши прогнозы были полезными. Рассуждать о судьбе империй и
истории человечества на самом деле достаточно амбициозное занятие, но
даже здесь можно сделать некоторые выводы и указать на непредсказуемость.
Можно понять энтузиазм, который охватил ученых, когда они осознали, что
подобные проблемы находятся в пределах их понимания.
48
Глава 8
И все же нам следует быть осторожными. Если вы обладаете критическим умом
ученого, вы захотите прояснить несколько моментов, связанных с бильярдом,
прежде чем позволите мне начать высказывать свои умозаключения на предмет
предсказуемости будущего человечества.
Например, при изучении движения бильярдного шара мы пренебрегли трением.
Имеем ли мы на это право? Это вечный вопрос физики: допустима ли
определенная идеализация? В данном случае присутствие трения говорит о
том, что шар, в конечном итоге, остановится. Но если он остановится
задолго после того, как движение стало непредсказуемым, то идеализация,
связанная с отсутствием трения, полезна.
Теперь мы должны рассмотреть более серьезный вопрос: насколько общей
является чувствительная зависимость от начальных условий? Мы рассмотрели
конкретную систему, бильярд с выпуклыми препятствиями, и пришли к выводу,
что небольшая неопределенность в начальных условиях приводит к
долгосрочной непредсказуемости. Является ли большинство систем подобными
этой, или данная ситуация все же исключительна? Под "системой" я
подразумеваю либо механическую систему, в которой отсутствует трение,
либо систему, в которой трение присутствует, но имеется еще и источник
энергии, возмещающий энергию, рассеянную трением, или, в общем случае,
систему с электрическими или химическими составляющими и т. д. При этом
важно наличие хорошо определенной детерминистической временной эволюции.
В таком случае математики скажут, что мы имеем динамическую систему.
Планеты, которые вращаются вокруг звезды, образуют динамическую систему
(в сущности, лишенную трения механическую систему). Вязкая жидкость,
которую перемешивает гребной винт, также является динамической системой
