Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
242
Глава 9
в рассматриваемом контексте впервые была отмечена Д. Зингером. Отображения интервала, удовлетворяющие этому условию, рассматривались в работах Престона [3], де Мело [1], Мартенса [I]13. Фундаментальный факт состоит в том, что если Sfi < 0, Sf^ < 0, то S(fi о /2) < 0 и, значит, условие отрицательности производной Шварца сохраняется при итерациях.
Предположим, что Sf < 0 и / строго возрастает на \а, Ъ]. Тогда, как можно проверить, f' не может иметь локальных минимумов на (а, Ь), a в таком случае у / может быть на (а, Ъ) не более одной отталкивающей неподвижной точки (т. е. такой точки х, что fx = х и f'(x) > 1). Если х — произвольная неподвижная точка преобразования /, то либо fu > и для всех и Є (а, х), либо fu < и для всех и Є (х, Ь), либо х — отталкивающая точка. Применим этот результат к ограничению f2m на интервал
т— I ^
П где ?(к) є Рег±(/, то). Этот интервал содержит по крайней
к= О
мере одну неподвижную точку отображения /т и не более одной отталкивающей неподвижной точки отображения J'2"' . Остальные /2т-неподвижные точки имеют вид Iim f2mnu, где 0 ^ к < 2то и fku произвольно близко к
п—>ОО
одной из точек деления ао, • • • > aN¦ Отсюда следует, что множество периодических орбит отображения /, не являющихся отталкивающими, конечно. Ho тогда а индуцирует биекцию
Per/ \ конечное множество ¦ Per/ \ конечное множество,
сохраняющую период.
Теорема 9.19. Пусть X — компактное подмножество прямой R, /: X X кусочно-монотонное отображение, g: X ^C- функция ограниченной вариации и (Ji, ..., Jn) — минимальное покрытие, связанное
с /•
Если S — репрезентативное множество периодических точек, определим дзета-функцию (s равенством
OO т — 1
Cs(z)=expEw E П Sifkx)-
т=1 XGS1DFixJm k=О
Если само Per / — репрезентативное множество периодических точек,
13Cm. также де Мело и ван Стрин [1*]. — Прим. ред.
§ 5. Дзета-функции
243
положим
оо га—1
Ciz)= ехр Yln E II^(A)-
т=1 x^Fix/"' k=О
Тогда функции l/(,s{z), I/C{z) аналитичны при \z\ < 0-1 и их нули в этой области имеют вид А-1, где А — собственные значения трансфер-операто-ра С, причем кратности нулей и соответствующих собственных значений одинаковы^4.
В случае (bi) предложения 9.18, когда (Ji, ..., ./д-) — образующее, мы получаем теорему Балади - Келлера. В случаях (Ьг) и (Ьз), относящихся к кусочно-аффинным отображениям и к отображениям с неотрицательной производной Шварца соответственно, мы можем иметь дело как с притягивающими, так и с отталкивающими периодическими орбитами.
Для доказательства теоремы 9.19 мы последовательно применим предложения 9.1, 9.4, 9.3 и посмотрим, как при этом будут изменяться дзета-функция Cs, параметр 0 и трансфер-оператор С.
Если мы изменим S на одну периодическую орбиту периода р, проходящую через точку хр, то I/C,s{z) изменится на
OO р— 1
exp [-EKzpII 5(/4)) ] =
Ti=I k=О
р-1
1 -zP П5 (/fe хр) ¦
к=О
Последнее выражение представляет собой голоморфную функцию, не имеющую нулей при \z\ < О 1. Значит, при доказательстве теоремы можно изменять множество S на конечное число периодических орбит. Поскольку S — репрезентативное множество периодических орбит, мы можем с помощью предложений 9.1 и 9.4 заменить Cs функцией ?, отвечающей
системе с образующим разбиением (мы определяем g на втором шаге в
соответствии с доказательством предложения 9.9, так что д(ах) = д{х), если х Є S \ конечное множество). Применение же предложения 9.3 не изменяет (.
Заметим, что применение предложений 9.1, 9.4, и 9.3 может лишь уменьшить 0 (см. предложение 9.9).
14Кратность собственного значения Л оператора С — это размерность обобщенного собственного пространства.
OO р— 1
-KiIsV^))] =
п=1 к=О
244
Глава 9
Наконец, согласно предложению 9.12, все трансфер-операторы, полученные в результате последовательного применения предложений 9.1, 9.4, и 9.3, О-эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые собственные значения с |А| > 0, кратности которых также совпадают.
Таким образом, мы пришли к ситуации, которая охватывается предложением 9.15. Этим завершается доказательство теоремы 9.19.
Следствие 9.20. 15 Пусть в условиях теоремы 9.19 X — интервал прямой R и Ji = [аі, cii+1], і = I, Определим функцию
є\ X —> {—1, 0, +1} условиями: є{ао) = ... = s(o,n) = 0, є(х) = ±1 при X Є (а,і, сіі+і), где знаки + и — выбираются в зависимости от того, возрастает / на (a*, (?+1) или убывает. Определим отрицательную дзета-функцию равенством
оо т—1
C-(Z) = ехр [2 Y ж E П S (/feaO] ’
™=1 KGFix- /™ k=О т—1
где FiX-/т = {х Є Fix/™: П e(fkx) = —1}. Тогда функция (~(z)
k=0
мероморфна при \z\ < 0-1 и ее порядок]6 в точке А-1 равен пе{\) — п(Х), где п(Х) и пЕ(А) — кратности А как собственного значения операторов С = Cg и Ce = Ceg соответственно.
Так как X — интервал, существует репрезентативное множество S периодических точек (см. предложение 9.18(a)). В соответствии с параграфом 9.5 (и следствием 9.6) S с точностью до конечного множества содержит множество
