Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
типа, что и оператор из параграфа 5.11. К нашей ситуации можно применить или приспособить рассуждения главы 5.
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что отображение / топологически перемешивает и А Є ^a(Cl). Тогда существуют функция А Є c^a(Cl) и вероятностная мера сг, для которых
supp сг = Cl
и при всех В Є (Cl)
Iim е-пР{А)%2В = сг(В) ¦ еА,
п—>оо
причем сходимость равномерна на Cl.
180
Глава 7
[В силу предложения 5.16 сходимость равномерна на D и, следовательно, на всем Cl, так как D всюду плотно в Г2. Предположим, что при d(x', х) < 2є выполняется неравенство \С(х') — С(х)| ^ cd(x, х')а. Тогда
с E ехр [А{у') + С(у')}
(<^ЛЄ )(х ) у' '¦ fy>=x!
(^?Аес){х) E exP [А(у) + С(у)}
V- fy=x
€
< exp[a(\d(x, х'))а + c(\d(x, х'))а],
так что, \А(х) — А(х')| ^ ad{х, х')а, где a = аХа( 1 — Aa)-1.]
В качестве другого примера рассмотрим отображение /, которое имеет якобиан еА относительно вероятностной меры р на Г2. Это означает, что если В е cS(Si), то
{f{B ¦ p)){dx) = Y eA{v)B(y) ¦ p(dx)
У¦ fy=x
и, следовательно,
г (в ¦ р) = (J^B) • р.
В частности, если отображение / топологически перемешивает и AecSa (Г2), то P(A) = 0 и fnp елр, причем норма разности fnp—eAp убывает экспоненциально быстро (см. упражнение 4(b) главы 5). В таком случае мера еАр /-инвариантна и эквивалентна мере р.
Приведенные выше рассуждения часто позволяют показать, что дп<т имеет предел, когда а — мера на компактном множестве Л, но отображение д: Л н-> Л не удовлетворяет нашему условию (E). Для этого достаточно найти сюръективное отображение ш: Si н-> Л и растягивающее отображение /, для которых loo/ = goio и отображение 1 однозначно определено сг-почти всюду.
П
Предположим, например, что Л = |J Aj и для каждого і существуют
І = 1
множество I(г) и непрерывное отображение gi: Aj н^ |J Aj со следую-
з є і W
щими свойствами:
(a) (J/(i) = {1, ..., п}.
г
(b) Множества Aj замкнуты и cr(Aj П Aj) = 0, если г Ф j.
(c) Отображения gi биективны и
d(х, у) < \d(fx, fy).
Библиографические замечания
181
(d) Существует такая функция Aj Є cSa(Ki), что
gi(a\Ai)(dx) = exp[Aj OgJ1x] ¦ (a [J Лj)(dx).
Пусть ограничение отображения д: А н-> Л на Aj совпадает с Qi (д не обязательно определено на Aj П Aj при і ф j). Тогда дпа при п —> оо имеет предел, эквивалентный мере а. Чтобы убедиться в этом, введем множество Cl последовательностей вида (хп, гп),п > 0,гдеж„ Є Ajri, гп+\ Є 1(гп) и Хп-\-1 — Qin^ri' Пусть f(xni ъп) — in-\-1), ^n) — X0. Тогда
wo/ = 5owpi Для / и метрики
d((xn, in), (уп, jn)) = sup Л™ [d(xn, уп) + 2є(1 - Sbjn )]
П
выполняется условие (E). Положим р = LO^1U и А(хп, гп) = Aj0(Xj0).7 Тогда А Є cSa(Cl) и отображение / имеет якобиан еА относительно меры р.
Библиографические замечания
Диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, были введены Смей-лом в статье [1], которая до сих пор служит лучшим введением в эту тематику. Определение Смейла обобщает более раннее понятие диффеоморфизма Аносова (см. Аносов [1]). Идея абстрактного изучения А-диффеоморфиз-ма, ограниченного на неблуждающее множество (или на гиперболическое множество), принадлежит Боуэну [1] (ср. с «Фактом 1», используемым в его работе). Наше изучение основывается на аксиомах (SSl) и (SS2), и термин «пространство Смейла» мы употребляем по отношению к динамическим систем с этими свойствами. Полученные результаты применимы к А-диф-феоморфизмам и, в частности, к диффеоморфизмам Аносова.
Основным инструментом служат марковские разбиения и символическая динамика, существование которых впервые доказано Синаем в [1, 2] для диффеоморфизмов Аносова. Это доказательство было улучшено и обобщено на А-диффеоморфизмы Боуэном [1]. Синай [4] обнаружил, что, используя символическую динамику, можно применить методы статистической механики к изучению инвариантных мер на многообразии с диффеоморфизмом Аносова. Это соображение обобщается и на А-диффеоморфиз-
7Из (Ь) и (d) следует, что отображение и>: Я -» Л обратимо сг-почти всюду. Это и позволяет
182
Глава 7
мы (см. Рюэль [5], Боуэн и Рюэль [1]). Данное изложение следует идеям Синая и монографии Боуэна [6], но содержит и некоторые новые факты.
Теория гиббсовских состояний, представленная в параграфах 7.15-7.18, соответствует общему определению гиббсовского состояния, предложенному Капокачиа [1].
Изучение периодических точек в параграфах 7.19-7.25 следует Боуэну [2] и Мэннингу [1]. Теорема 7.24 была анонсирована Рюэлем в [6].
Теория растягивающих отображений, развитая в параграфах 7.26 - 7.31, служит приложением теории пространств Смейла. Она является более общей (и, следовательно, менее богатой), чем теория растягивающих диффеоморфизмов Шуба [1] и Хирша [1]. Исследование итераций оператора S?a в параграфе 7.31 приводит к обобщению теоремы Перрона-Фробениуса (см. предложение 5.16). Развитие этой темы можно найти у Уолтерса [3], [4] и, в другом направлении, у Ласоты и Йорка [1].
Упражнения
1. Доказать, что пространство Смейла имеет конечную хаусдорфову размерность8.