Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(Ij'> (^х')х'ЄЬ', (ОлОл'Є^')-
Для конечного множества Л' С L1 и Сь'\л' ^ ^1'\Л' положим Л = = {х Є L: Al(х) Р| Л' ф 0}. Тогда в силу свойств изоморфизма имеем
F(ГЇA' VCL'Vv) = *Л(»?Л' V^w) У Іь\А при некотором S,l\a Є Ct*L\д как только г)д, V ?,'Li\a> е Cl'. Определим
, _ /^Ьдл I-F1A(&' Vgj'\A')}
E ^(а)смл|^а(^ V^naOI¦
rIA^nA'
Семейство (Р*/1(Л')?' ,) является системой условных вероятностей для
(L', (Cl'x,)xieL', (Ол')л'є^')- Заметим, что в силу (2.1) и (2.2) если Ф явля-ется взаимодействием, то
52
Глава 2
Нетрудно проверить, что предложение 2.5 и замечание 2.6 остаются справедливыми для систем условных вероятностей, если вместо Г*Ф рассматривать (F>(jy)c^A/).
2.9. Замечание
Превосходство рассмотрения систем условных вероятностей по сравнению с взаимодействиями состоит в том, что они имеют более общую природу и, в то же время, изменяются естественным образом относительно морфизмов. Действительно, если F является морфизмом, то отображение F* определено однозначно на системах условных вероятностей, но не на взаимодействиях. Кроме того, на системах условных вероятностей морфизмы действуют как функторы в том смысле, что (F о F')* = F'*F* и 7* является тождественным преобразованием, если I — тождественный морфизм.
Однако системы условных вероятностей не всегда являются естественным объектом исследования1, и поэтому всегда полезно иметь взаимодействия в своем распоряжении.
Послесловие
Эта глава в каком-то смысле формальна по своей природе и является попыткой избавиться от произвола, присутствующего в выборе тройки (L1 (flx)xeL, (Пл)лє^) и взаимодействий Ф в главе 1. Последнее достигается при помощи введения понятия изоморфизма между «решетчатыми системами» (L, (flx)xeb, (^л)лє^) и сопоставления каждому взаимодействию «системы условных вероятностей». Интересно, что можно определить не только изоморфизм решетчатых систем, но их морфизм. Они преобразуют системы условных вероятностей контравариантно, а гиббсовские состояния — ковариантно. Морфизмы могут быть использованы для формализации некоторых процедур в статистической механике2.
Определение системы условных вероятностей см. в работе Суллива-на [1]. Результаты остальной части этой главы публикуются впервые.
'Это, в первую очередь, из-за того, что для них нельзя определить давление P в случае, когда имеется инвариантность относительно сдвигов (см. главы 3, 4).
2Cm., например, сведение к транзитивным и перемешивающим системам в теоремах 5.2, 5.3. Другим примером является использование «контуров» в изучении модели Изинга с нулевым магнитным полем.
Упражнения 53
Упражнения
1. Пусть F, F' — морфизмы
F: (L', (Пгх,)хіеь'ї (^л')л'є^') (L, (Qx)хєь, (^л)лє^)>
F': (L", (Qx»)x"eL", {ЄІА")&"є&") (Lr, (0,'х,)х'єьг, (^л')л'є^')>
опрсдслснныс ссмсиствами (Fr j r r , (Fr , j:r, , Jj,, где Fr. ^ї д ц:г^ 1 - -.r
и F'x '¦ ^М'(Х') пх’- ПУСТЬ М(х) = U{MV): ^ Є М(х)} и : ^(ж) - такое семейство, что F(?") = Fx(F'M{x)?").
Проверить, что отображение F = FoF' является морфизмом, определенным при помощи семейства (Fx)x^l- Проверить, что -F*Ф = F'*F*Ф, где F*, F'*, F* определены семействами (Fx), [F'x,), (Fx) соответственно.
2. Если мы откажемся от условия M(A)JiaaUaI > 0 при V ?іда Є Г2 в параграфе 2.7(a), то мы получим более общее определение системы условных вероятностей. Проверить, что свойства, описанные в параграфе 2.8 (за исключением замечания 1.14), тем не менее остаются в этом случае верными.
3. Пусть дана система условных вероятностей (A4(A)Jiaa )• Для любых ?, г/ Є ft, для которых существует такое конечное множество Л, что ?| (L\A) = = ri\(L\A), положим
V{?, rj) = logm(a)j|(-L\a)U|A} - logfi{AmL\A){rj\A}. (*)
Проверить, что это определение не зависит от выбора множества Л и что оно обладает следующими свойствами:
(a) V — действительная функция на множестве {(?, rj) Є Ox Q: ?|(L\K) = rj(L\ Л) при некотором конечном Л}.
(b) Если ?Л, Va Є Qa, то функция ^ V(?A V ?l\a, ^a V ?l\A)
непрерывна на множестве {?ь\л Є : ?л V ?l\a Є О и r/л V %дл е П}.
(c)У(?, r)) + V(r], С) + ^(С> О — 0, как только определена левая сторона этого равенства.
Проверить, что (*) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между системами условных вероятностей и объектами V, удовлетворяющими условиям (а), (Ь) и (с). Очевидно, эти объекты образуют линейное пространство. Проверить, что естественное действие F*, где F — морфизм, на этом пространстве является линейным.
54
Глава 2
4. Рассмотрим две решетчатые системы с конфигурационными пространствами fl и fl'. Пусть Ф, Ф' — взаимодействия для них. Дадим естественное определение суммы и произведения двух решетчатых систем: ими будут решетчатые системы с конфигурационными пространствами fl* = = fl U fl' (объединение) и fl** = QxQ,' (произведение) соответственно. Определим также сумму и произведение взаимодействий Ф и Ф'.
(a) Показать, что инъекция Q , (Г является морфизмом.
(b) Показать, что если и, и’ — гиббсовские состояния для взаимодействий Ф И Ф', TO CF ® сг' — гиббсовское состояние ДЛЯ Ф X Ф'.
