Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому заменим ее единицей; это сделает результат менее громоздким, не
изменяя его физического смысла.
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 161
Выполняя интегрирование, придем к искомому выражению для коэффициента
усиления волны и/2:
при 0 </ а </ 1 и
еа tg2 5 (0) + 1 tg*J(0) + l
$ - g-ViCTo+l)
в tg2 S (0) t.])2 - (1 -f c) ~|- lb2 Г (tg*5(0)+l)lhrth-^-(l + a)
(VI.2.13)
. (VI.2.14)
Решения (VI.2.13), (VI.2.14) изображены соответственно на рис. VI.5, VI.6
для различных значений S (0). Как нетрудно заметить, величина начального
сдвига фаз S (0) играет существенную роль в поведении субгармоники. При S
(0) = л/2 волна и/2 усиливается наиболее эффективно, напротив, при S (0)
= 0 имеет место наибольшее ослабление.
Другой ваяшый вывод, который можно сделать при рассмотрении рис. VI.6,
заключается в том, что при больших числах Рейнольдса главный вклад в
процесс усиления дает область а /> 1 (это именно та область, где волна
накачки сильно затухает из-за образования в ней разрывов). Так, при
построении графиков рис. VI.6 полагалось eRe равным 50, что для
максимального коэффициента усиления дало В,т к = 7. В общем же случае,
как можно установить из анализа решения (VI.2.14), наибольшее усиление
достигается в точке агаах, определяемой из уравнения shT (1 -f omax) = Г,
или нтах ^ ж 1,4/Г; при этом Втах ~ 0,7/(^Г.
Располагая выражениями (VI.2.13), (VI.2.14), обсудим правомерность
сделанных предположений и область применимости полученных решений.
Требование отсутствия реакции на накачку, очевидно, эквивалентно
требованию В (о)<СИн (с); все решения справедливы только для таких
значений о, при которых выполняется это неравенство. Поскольку в области
0 </ а </ omax функция В (о) является монотонно возрастающей, а Ан (о) -
убывающая функция, выполнение указанного неравенства при о = отах влечет
за собой его справедливость и во всей области (0, ошах). Но при
8,1
в
0,4
0,8 1,0 <э
Рже. VI.5. Зависимость коэффициента усиления слабого сигнала от величины
с < 1 при различных значениях S (0).
Рис. VI.6. Зависимость коэффициента усиления от безразмерной координаты
при о> 1.
ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 163
о = отах с помощью выражений (VI.2.7), (VI.2.14) можно получить
-^-<Г3/\ (VI.2.15)
В тех случаях, когда условие (VI.2.15) не выполнено, но все же vc0 г;0,
начинает сказываться реакция на накачку. При этом решение (VI.2.14)
перестает выполняться при некотором отах отах, и коэффициент усиления
7?raax оказывается меньшим, чем 7?тах. Так как истощение волны накачки за
счет усиления субгармоники наступит быстрее при больших начальных
значениях vc0, здесь должна иметь место следующая зависимость 7?тах от
1'со- чем больше рс0, тем меньше 7?тах-
Второе наше допущение, благодаря которому в уравнении (VI.2.5) был
отброшен нелинейный член, будет справедливо, если ошах меньше расстояния
образования разрыва в волне субгармоники: 1,4Г<^>0/г>с0. Нетрудно видеть,
что при больших Re это неравенство слабее, чем (VI.2.15).
До сих пор мы обсуждали формальную сторону дела, не касаясь вопроса о
том, какие конкретно физические механизмы ответственны за наличие
начального возмущения исо.
Если в среду (при х = 0) специально вводится слабый регулярный сигнал,
изменение его амплитуды В (о), как было показано выше, описывается
решением (VI.2.13), (VI.2.14).
Кроме того, начальным возмущением на частоте субгармоники может служить
шум источника, расположенного на границе среды. Накачку, естественно, и в
этом случае следует считать регулярным процессом, амплитуда которого
зависит только от координаты о. Субгармоника же на границе считается
теперь стационарным случайным сигналом [89]. Для • определенности
предположим, что спектр "шума" источника имеет гауссовскую форму с
шириной А и максимумом на частоте субгармоники:
164 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Здесь ?2 = Асо/со - относительная отстройка от центральной частоты со/2.
Полагая амплитуду субгармоники в уравнении (VI.2.5) зависящей медленно и
от 0:
V0 = -^-[A(a, Q)eW*-A'(a, 0)e-io/a], (VI.2.17)
с помощью обычной процедуры укорочения получаем следующее уравнение:
Одновременной заменой переменной и функции
ст Г
1 = ^As(e')ds', А=Ве~Т° (VI.2.19)
О
оно преобразуется в уравнение с постоянными коэффициентами:
•jf "-г-ж-s-s'- <VI-2-2°)
Наконец, используя уравнение, комплексно-сопряженное к (VI.2.20),
приходим к гиперболическому уравнению для амплитуды В:
_ 1 А2В " о!')
дф 4 Д02 + 16 • (V1.Z.Z1)
Для нахождения интересующей нас средней интенсивности субгармоники в
различных сечениях среды можно воспользоваться теперь аппаратом метода
огибающих или спектральным методом [89]. В первом случае мы должны
получить точное решение задачи Коши для уравнения (VI.2.21) с помощью
метода Римана. Это нетрудно сделать, однако полученный результат имеет
достаточно громоздкую форму и, кроме того, несет избыточную для нас
