Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Предположим, что Р\{Х) и Р2 (А)-две такие кривые и что
А,! - точка, в которой они расходятся, т. е.
Xi = sup{X: /\ (Х')=Рг (А'). 0<А'<А}.
Положим Р0 = Pi pi) = Рг (АД и применим теорему 1 к задаче с начальными
данными в A,i; тогда оказывается, что если Pt (А) и Р2 (А) определены за
точкой А = Аа, то они совпадают на некотором интервале (Ai - А0, Ai +
A0), а следовательно, они не расходятся в Ai вопреки предположению.
Если начальный касательный вектор {!;*} заменить на вектор того же
направления, но другой длины, то в качестве множества точек в М
получается та же самая геодезическая, но с другим выбором натурального
параметра А, т. е. из структуры уравнений (26.8.1) следует, что если {л*
(А), рк (А)} - какое-то решение для А ? [0, А0], то при а > 0 (хА(аА),
(аА)} - решение для А ? [0, А0/а]. В качестве начального касательного
вектора вместо {?*} берется вектор (а?А). Если положить а=А0, то отсюда
следует, что для любого заданного направления всегда существует решение,
определенное для
*) То есть % не может разветвляться,- Прим. перев.
224
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
всех X ? [О, 1], первоначально идущее в этом направлении и такое, что все
компоненты его начального касательного вектора меньше некоторой
положительной константы. Можно также доказать, что эта константа
непрерывно зависит от направления {?*}, а значит, имеет нижнюю грань или
минимум. Поэтому верна следующая теорема.
Теорема 2. Пусть, как и выше, а1, ... , ап-координаты (в некоторой карте)
точки Р0. Существует такая положительная константа К - К(Р0), что задача
с начальными данными
(26.8.1), (26.8.2) о геодезической имеет решение на интервале 1 для всех
векторов {?*}, таких, что [!*[ < К (k = 1, ..., п).
Эта теорема будет использована в следующей главе для доказательства
существования в окрестности точки так называемых рима-новых координат.
26.9. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. ИТЕРАЦИИ ПИКАРА
Данный параграф содержит материал, не относящийся непосредственно к
теории многообразий; он посвящен доказательству фундаментального свойства
обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно существования решения
задачи с начальными данными (26.8.5) в случае выполнения условия Липшица
(26.8.4). И теорема существования, и сам метод ее доказательства широко
применяется во многих областях физики и математики.
Перепишем задачу с начальными данными (26.8.5) в виде интегрального
уравнения Вольтерра (в котором независимая переменная К оказывается
верхним пределом интеграла):
к
yk(X) = yk(0)+\fk(y(k'))dk't 6=1 (26.9.1)
о
где у - вектор с компонентами у1, ... , yN. Далее удобно использовать
норму I х || = шах | xJ'\, которая позволяет записать условие (/)
Липшица в виде
I(у)-/Му)| <Чу-УII. k=sl, (26.9.2)
Решение интегрального уравнения (26.9.1) получается здесь итерационным
методом Пикара, в котором yk (Д <7) обозначает <7-ю итерацию, yk (к, 0)
есть ук(0) (не зависит от X), а последовательные приближения задаются
формулой
К
Ук(К <7 + 1) = #*(0) + q))dX', <7=1,2,.... (26.9.3)
о
Чтобы оценить скорость сходимости, введем обозначения (для <7=1,2,...):
Дук(Х, q) = ук (X, q) - yb(X, q-\),
Дfk(X, q) = /* (у (%, q)) -/* (у (к, q-l)).
26.9. Интегральное уравнение. Итерации Пикара
225
Вычитая последовательные уравнения (26.9.3) одно из другого (для q-\-1 и
q), получаем
х
*У*(К q+l)=^Afk(V, q)dX'. (26.9.4)
о
Это уравнение выполняется не только для <7=1,2, ... , но и для q - 0,
если положить yk (X, -1) = 0 и заметить, что /*(0)=0. Скорость сходимости
оценивается в следующей лемме.
Лемма. Предположим, что
IIУ (0)|| <6/2 (26.9.5)
[т. е. что у(0) лежит не просто в кубе W, а в его центральной
части] и что |X|<;in2/L, где L-константа Липшица б (26.9.2).
Тогда для q= 1, 2, ...
II Ду (К ФII < (6/2) (!/</!) (L | X |)9 (26.9.6)
и
| у (X, q)\ <6. (26.9.7)
Доказательство. Случай q-l следует из (26.9.4) и (26.9.5), а далее
доказательство можно продолжить индукцией по q, поскольку
X
J V7dA, = V7 + 1/(<7+1) о
и
Ну <7||=|| 2 Лу(А-*
Q
<. (6/2) 2 (l/rl) (L I x O'- < (6/2) eln 2 = 6. (26.9.8)
r= 0
Оценка (26.9.8) обеспечивает допустимость использования условия Липшица
для любого q.
Ясно, что именно сомножитель 1 /ql в (26.9.6) обеспечивает эффективность
метода. Так как сумма в (26.9.8) мажорируется степенным рядом функции
eL\%\ соответствующий ей ряд сходится абсолютно и равномерно по X на
любом конечном интервале. Поэтому эту сумму можно почленно
проинтегрировать, а после этого окажется, что функция у (X) = lim у (X,
q) удовлетворяет
q -*¦ со
интегральному уравнению (26.9.1) и, следовательно, является решением
задачи с начальными данными (26.8.5).
Тем самым доказана и теорема 1 из предыдущего параграфа.
226
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
26.10. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ. ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
В евклидовой геометрии любые две точки Р и Q могут быть связаны
единственным отрезком прямой PQ. То же самое локально верно и для
