Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4. Допустим, что G, G0, Л, Л0, е1г . . ., еп, к1,к" таковы, как
описано выше. Тогда kk+1, .. ., кп можно взять в качестве координат ф (g)
(g обозначает смежный класс) в подмножестве U группы G/G0 (состоящем из
смежных классов, которые пересекаются с окрестностью V в G), таким
образом определив карту, благодаря чему G/G0 становится (п-к)-мерной
группой Ли, называемой факторгруппой Ли (она также обозначается через
G/G0) группы G по отношению к G0. Естественный гомоморфизм G на G/G0
непрерывен и, значит, является гомоморфизмом группы Ли (следовательно, он
аналитичен).
Приведем пример, показывающий, что заключения теоремы могут не иметь
места, если подгруппа G0 не является замкнутой. Пусть G-двумерная группа
тора, состоящая из матриц
feia 0 \
I о ёч (а' Р веЩественны)-
25.14. Теорема о гомоморфизмах для групп Ли
185
Пусть Gn-подгруппа из матриц (е" 0 \
1 0 ет) V ве1Дественно),
где 0-фиксированное вещественное иррациональное число. Многообразие
группы G является тором, а многообразие группы G0- спиралевидной кривой,
всюду плотной на этом торе. Подгруппа Gu нормальна, но не замкнута.
Алгебра Ли А представляет собой плоскость, и при отображении ек->- X
группы G на А образом G0 является множество параллельных прямых, всюду
плотное в этой плоскости. А0 есть прямая из этого множества, проходящая
через начало координат. Относительно базиса (е^ е2), такого, что Ej лежит
теперь на А0, вторая координата X2 имеет различные значения на различных
прямых множества, составляющего G0, и поскольку любая окрестность начала
координат пересекается бесконечным числом прямых указанного множества, то
X2 не является постоянной ни в G0, ни в любом смежном классе.
Теперь сформулируем без доказательства две последние теоремы.
Теорема 5. Алгебра Ли группы G/G0 изоморфна А/А0.
Теорема 6 (теорема о гомоморфизмах)^Если G"-ядро гомоморфизма группы Ли G
на G, то G/G0 ^ G. Иначе говоря, если Y-изоморфизм (в смысле элементарной
теории групп), определенный в § 18.8, то А? и обратное отображение Т-1
аналитичны.
Первые семь из приведенных ниже упражнений имеют отношение к отчасти
неясному вопросу (упомянутому в § 25.1) касательно того, какие группы Ли
имеют точные представления и, следовательно, являются линейными группами,
т. е. могут рассматриваться как группы матриц (или соответствующих
линейных преобразований), как это обычно справедливо для групп,
встречающихся в приложениях. Каждая алгебра Ли А имеет хотя бы одно
представление, так называемое присоединенное представление алгебры А на
себя (упражнение 2). Посредством экспоненциального отображения оно дает
локальное представление группы Ли G на ее алгебру А. Это представление
может быть, а может и не быть расширено до представления всей группы G, и
в случае существования такого расширения оно может быть, а может и не
быть точным.
Упражнение 8 связано с накрывающими группами. Группа SU (2) есть
универсальная накрывающая группа группы SO(3). Основная теорема § 24.3 о
накрывающих многообразиях гласит, что не существует никаких групп,
которые накрывали бы SU (2), будучи неизоморфными SU (2). Следовательно,
как утверждалось в § 21.1, не существует многозначных представлений
группы SO(3) кроме двузначных.
186
Гл. 25. Группы Ли
Упражнения
Центром С группы G называется множество таких элементов группы которые
коммутируют с любым элементом группы, т. е.
c={g€G: Sh=h-8 Vft?G}.
Аналогично центр Z алгебры Ли есть множество таких элементов, которые
коммутируют с каждым элементом этой алгебры, т. е.
Z = {k?Л: [X,(i]=0 Vpi?A}.
1. Покажите, что центр группы Ли является замкнутой нормальной
подгруппой, а центр алгебры Ли - идеалом.
2. Напомним, что для любого к из Л Ad;, есть линейное преобразование pi-
алгебры Л на себя. Покажите, что если произведение Ли двух таких
преобразований определено обычным образом как
[Ad,, Ad(1] = Ad,Ad(l-Ad(1Ad"
после чего множество {Ad,: всех таких преобразований становится
алгеброй Ли, то отображение к-> Ad, является гомоморфизмом алгебры Л на
эту новую алгебру. Этот гомоморфизм называется присоединенным
представлением Л (на себя).
3. Покажите, что если Л - алгебра бев центра, т. е. Z={0}, то
присоединенное представление является точным (т. е. приведенный выше
гомоморфизм есть изоморфизм).
Adi
4. Если G односвязна, то локальный гомоморфизм еК-"¦ е группы G на
группу линейных преобразований в алгебре Л, рассмотренный в § 25.7, можно
расширить до гомоморфизма всей группы G, который называется
присоединенным представлением группы G на Л. Покажите, что необходимое
условие для того, чтобы этот гомоморфизм был изоморфизмом, заключается в
отсутствии центра у группы G, т. е. С должен быть равен {1}; тогда данный
гомоморфизм локально является изоморфизмом.
5. Для иллюстрации упражнения 4 возьмем SU(2) в качестве G и примем за
базис алгебры Ли Л группы SU(2) матрицы Тi, Т%, Т9 размера 2x2,
определенные в (22.7.5). Тогда преобразования Ad;, представляются вещест-
